Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1

Câu hỏi số 212894:

Vận dụng cao

Số các giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \({{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\) có hai nghiệm thực phân biệt là:

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212894

Phương pháp giải

Tìm tập xác định của các hàm cho trong phương trình.

Đưa phương trình về phương trình bậc \(2\) theo \(x.\) Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai theo \(x\) cần có hai nghiệm phân biệt và thuộc tập xác định. Biện luận theo \(m\) để tìm ra kết quả.

Giải chi tiết

Điều kiện \(\left\{ \begin{align} & x>1 \\ & mx>8 \\ \end{align} \right.\Rightarrow x>\max \left\{ 1;\frac{8}{m} \right\}\,\,\left( m\ne 0 \right).\)

Ta có

\(\begin{align} & \,\,\,\,\,{{\log }_{\sqrt{2}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{{{2}^{\frac{1}{2}}}}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right) \\ & \Leftrightarrow 2{{\log }_{2}}\left( x-1 \right)={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\Leftrightarrow {{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( mx-8 \right) \\ & \Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}=mx-8\Leftrightarrow {{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x+9=0\,\,\left( 1 \right). \\ \end{align}\)

Để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình

\(\begin{array}{l}
\Delta = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4.9 = {m^2} + 4m - 32 > 0\\
\Leftrightarrow \left( {m - 4} \right)\left( {m + 8} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m > 4\\
m < - 8
\end{array} \right.
\end{array}\)

Nếu \(m<0\) thì với \(x>1\) ta có \(mx-8<0\) do đó \({{\log }_{2}}\left( mx-8 \right)\) không xác định.

Vậy điều kiện để \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt trước hết là \(m>4.\)

Khi đó hai nghiệm là \({{x}_{1}}=\frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2},{{x}_{2}}=\frac{\left( m+2 \right)+\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}.\)

Ta có \({{x}_{2}}>{{x}_{1}}.\)

Để \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta cần \({{x}_{1}}>m\text{ax}\left\{ 1;\frac{8}{m} \right\}.\)

Nếu \(m=8,\) thì phương trình ban đầu trở thành \({{\log }_{2}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}={{\log }_{2}}\left( 8x-8 \right)\Rightarrow \left( x-1 \right)\left( x-9 \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=9 \\ \end{align} \right..\)

Nhưng \(x=1\) không phải là nghiệm nên phương trình đã cho chỉ có một nghiệm. Do đó \(m=8\) không phải là giá trị cần tìm.

Với \(m<8.\) Khi đó ta cần tìm \(m\) sao cho \({{x}_{1}}>\frac{8}{m}\Leftrightarrow \frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}>\frac{8}{m}\Leftrightarrow {{m}^{2}}+2m-16>m\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}.\)

Do \(m>4,m\in \mathbb{Z}\) nên \({{m}^{2}}+2m-16>0.\)

Bình phương hai vế bất đẳng thức trên ta được \(\begin{align}& \,\,\,\,\,\,{{\left( {{m}^{2}}+2m-16 \right)}^{2}}>{{m}^{2}}\left( {{m}^{2}}+4m-32 \right)\Leftrightarrow {{m}^{4}}+4{{m}^{2}}+{{16}^{2}}+4{{m}^{3}}-32{{m}^{2}}-64m>{{m}^{4}}+4{{m}^{3}}-32{{m}^{2}} \\& \Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-64m+{{16}^{2}}>0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-16m+{{8}^{2}}>0\Leftrightarrow {{\left( m-8 \right)}^{2}}>0. \\\end{align}\)

Bất đẳng thức cuối đúng do \(m\ne 8.\) Vậy \(4<m<8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Do đó \(m=5,6,7.\)

Với \(m>8\) ta cần tìm \(m\) sao cho \({{x}_{1}}>1\Leftrightarrow \frac{\left( m+2 \right)-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}}{2}>1\Leftrightarrow m-\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}>0\Leftrightarrow m>\sqrt{{{m}^{2}}+4m-32}\Leftrightarrow 8>m.\)

Bất phương trình này vô nghiệm. Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn \(m>8\) thỏa mãn yêu cầu bài toán. \(\)

Vậy có \(3\) giá trị cần tìm của \(m.\) \(\)

Chọn đáp án A.

Chú ý khi giải

Trong quá trình giải phương trình học sinh thường bỏ qua bước cực kì quan trọng đó là tìm tập xác định điều này có thể dẫn tới việc tìm thừa giá trị của m

Do đó học sinh có thể nghĩ rằng đề ra bị sai.

Một lỗi có thể gặp nữa đó là \({{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\frac{1}{\alpha }{{\log }_{a}}b\)thì một số học sinh lại viết thành \({{\log }_{{{a}^{\alpha }}}}b=\alpha {{\log }_{a}}b.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.