Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(BC.\) Biết góc giữa \(MN\) và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng \({{60}^{0}}.\) Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Trong mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) kẻ \(MO'//SO.\) Từ \(O'\) kẻ \(O'H\bot AB\) khi đó \(O'H=\frac{1}{4}CB.\)
Từ \(O'\) kẻ \(O'K\bot AD.\) Từ \(O'\) kẻ \(O'I\bot MK.\) Ta chứng minh khoảng cách giữa hai đường thẳng \(BC\) và \(DM\) bằng \(4OI'.\)
Sử dụng định lý cos trong tam giác để tính \(O'N.\) Sử dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông để tính \(MK.\) Sử dụng công thức diện tích tam giác \(KMO'\) để suy ra độ dài \(O'I.\)
Trong mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) kẻ \(MO'//SO.\)
\(MO'\bot \left( ABCD \right)\Rightarrow MO'\bot O'N\Rightarrow \widehat{MNO'}={{60}^{0}}.\)
Từ \(O'\) kẻ \(O'H\bot AB\) khi đó \(O'H=\frac{1}{4}CB.\)
Từ \(O'\) kẻ \(O'K\bot AD.\)
Khi đó ta có \(\left\{ \begin{align}& O'K\bot AD \\& MO'\bot AD \\\end{align} \right.\Rightarrow AD\bot \left( MO'K \right).\)
Từ \(O'\) kẻ \(O'I\bot MK.\)
Ta có \(\left\{ \begin{align}& O'I\bot MK \\& O'I\bot AD \\\end{align} \right.\Rightarrow O'I\bot \left( SAD \right)\Rightarrow O'I\bot DM.\)
Kéo dài đoạn \(O'M\) cắt \(DB\) tại \(J.\) Khi đó
\(\left\{ \begin{align}& HJ\bot MO' \\& HJ\bot O'K \\\end{align} \right.\Rightarrow HJ\bot \left( MO'K \right)\Rightarrow HJ\bot O'I.\)
Từ \(J\) kẻ \(JT\bot AD.\)
Từ \(T\) kẻ \(T{{I}_{1}}//IK.\)
Khi đó \({{I}_{1}}J\) là đoạn vuông góc chung của \(DN\) và \(OH.\)
\({{I}_{1}}J=O'I\) và đoạn vuông góc chung giữa \(DM\) và \(CB\) gấp \(4\) lần \(O'I.\)
Ta có
\(\begin{align}& O'{{N}^{2}}=O'{{C}^{2}}+C{{N}^{2}}-2O'C.CBc\text{os}{{45}^{0}} \\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{a}^{2}}\left[ {{\left( \frac{3\sqrt{2}}{4} \right)}^{2}}+\frac{1}{4}-2\frac{\sqrt{2}}{2}.\frac{3\sqrt{2}}{2}.\frac{1}{2} \right]=\frac{5{{a}^{2}}}{8}. \\\end{align}\)
Suy ra \(O'N=\sqrt{\frac{5}{8}}a\Rightarrow MO=\tan {{60}^{0}}.O'N=\sqrt{3}.\sqrt{\frac{5}{8}}a=\sqrt{\frac{15}{8}}a.\)
Áp dụng định lý Py-ta-go cho tam giác vuông \(MKO\) ta được \(MK=a\sqrt{\frac{15}{8}+\frac{1}{16}}=a\frac{\sqrt{31}}{4}.\)
Ta có \(2{{S}_{MO'K}}=MO'.O'K=O'I.MK\Rightarrow O'I=\frac{MO'.O'K}{MK}=\sqrt{\frac{15}{243}}a.\)
Do đó khoảng cách giữa \(DM\) và \(CB\) bằng \(4O'I=\sqrt{\frac{30}{31}}a.\)
Chọn đáp án B.
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
