Cho \(a,b,c\) là các số thực thuộc đoạn x\(\left[ 1;2 \right]\) thỏa mãn \(\log _{2}^{3}a+\log

Câu hỏi số 212897:

Vận dụng cao

Cho \(a,b,c\) là các số thực thuộc đoạn x\(\left[ 1;2 \right]\) thỏa mãn \(\log _{2}^{3}a+\log _{2}^{3}b+\log _{2}^{3}c\le 1.\)

Khi biểu thức \(P={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( {{\log }_{2}}{{a}^{a}}+{{\log }_{2}}{{b}^{b}}+{{\log }_{2}}{{c}^{c}} \right)\) đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng \(a+b+c\) là:

A. \(3.\)

B. \({{3.2}^{\frac{1}{\sqrt[3]{3}}}}.\)

C. \(4.\)

D. \(6.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:212897

Phương pháp giải

Ta sử dụng Bổ đề: Cho \(a\ge b\ge c\) là các số thực không âm và \(P\left( a,b,c \right)\) là hàm đối xứng theo các biến \(a,b,c.\) Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm sao cho \(f'\left( x \right)\) là một hàm lồi ( tức là \(f'''\left( x \right)>0\) ) thì hàm số

\(P\left( a,b,c \right)=f\left( a \right)+f\left( b \right)+f\left( c \right)\) đạt giá trị lớn nhất (nếu có) tại \(a\ge b=c.\)

Giải chi tiết

Ta sử dụng Bổ đề:

Cho \(a\ge b\ge c\) là các số thực không âm và \(P\left( a,b,c \right)\) là hàm đối xứng theo các biến \(a,b,c.\) Giả sử \(f\left( x \right)\) là hàm sao cho \(f'\left( x \right)\) là một hàm lồi ( tức là \(f'''\left( x \right)>0\) ) thì hàm số

\(P\left( a,b,c \right)=f\left( a \right)+f\left( b \right)+f\left( c \right)\) đạt giá trị lớn nhất (nếu có) tại \(a\ge b=c.\)

Áp dụng vào bài toán của chúng ta. Đặt \(f\left( x \right)={{x}^{3}}-3x{{\log }_{2}}x,\,\,x\in \left[ 1,2 \right].\) Khi đó ta có \(h\left( x \right):=f'\left( x \right)=3{{x}^{2}}-3{{\log }_{2}}x-\frac{3}{\ln 2}.\) Ta tính được \(h'\left( x \right)=6x-\frac{3}{x{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}},\,\,h''\left( x \right)=6x+\frac{3}{{{x}^{2}}{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}>0,\,\forall x\in \left[ 1,2 \right].\)

Do đó hàm \(h\left( x \right)=f'\left( x \right)\) là hàm lồi. Ta lại có \(\begin{align}& P\left( a,b,c \right)={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( {{\log }_{2}}{{a}^{a}}+{{\log }_{2}}{{b}^{b}}+{{\log }_{2}}{{c}^{c}} \right) \\& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,={{a}^{3}}+{{b}^{3}}+{{c}^{3}}-3\left( a{{\log }_{2}}a+b{{\log }_{2}}b+c{{\log }_{2}}c \right)=f\left( a \right)+f\left( b \right)+f\left( c \right) \\\end{align}\)

Áp dụng bổ đề trên ta suy ra \(P\left( a,b,c \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a\ge b=c.\) Khi đó

\(P\left( a,b,b \right)={{a}^{3}}+2{{b}^{3}}-3\left( a{{\log }_{2}}a+2b{{\log }_{2}}b \right)\,\,\left( 1 \right).\)

Giả sử rằng \(a+2b=\alpha ,\,\,3\le \alpha \le 6.\) Khi đó \(a=\alpha -2b\) thay biểu thức này vào \(\left( 1 \right)\) ta được

\(P\left( a,b,b \right)={{\left( \alpha -2b \right)}^{3}}+2{{b}^{3}}-3\left[ \left( \alpha -2b \right){{\log }_{2}}\left( \alpha -2b \right)+b{{\log }_{2}}b \right].\)

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{\left( \alpha -2x \right)}^{3}}+2{{x}^{3}}-3\left[ \left( \alpha -2x \right){{\log }_{2}}\left( \alpha -2x \right)+b{{\log }_{2}}x \right],\,\,x\in \left[ 1,2 \right].\)

Ta có

\(g'\left( x \right)=-6\left( 3{{x}^{2}}-4x\alpha +{{\alpha }^{2}} \right)+6{{\log }_{2}}\frac{\alpha -2x}{x},\,\,g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-4x\alpha +{{\alpha }^{2}}={{\log }_{2}}\frac{\alpha -2x}{x}={{\log }_{2}}\left( \frac{\alpha }{x}-2 \right)\,\,\left( 2 \right).\)

Do \(\alpha \ge 3,\,\,x\in \left[ 1,2 \right]\) nên hàm số ở vế trái và vế phải của \(\left( 2 \right)\) đều là các hàm số nghịch biến.

Mặt khác ta lại có \(x=\alpha \) là một nghiệm của \(\left( 2 \right)\) do đó \(\left( 2 \right)\) có nghiệm duy nhất \(x=\alpha \)(trên \(\mathbb{R}\) )

Do \(x\in \left[ 1,2 \right],\,\,\alpha \ge 3\) nên phương trình \(\left( 2 \right)\) vô nghiệm.

Ta lại có \(g'\left( 1 \right)=-6\left( 3-4\alpha +{{\alpha }^{2}} \right)+6{{\log }_{2}}\left( \alpha -2 \right).\)

Đặt \(p\left( x \right)=-{{x}^{2}}+4x-3+{{\log }_{2}}\left( x-2 \right),\,\,3\le x\le 6.\)

Khi đó \(p'\left( x \right)=-2x+4+\frac{1}{\left( x-2 \right)\ln 2}=-\left[ \frac{2{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ln 2-1}{\left( x-2 \right)\ln 2} \right]<0,\,\,3\le x\le 6.\)

Do đó \(p\left( x \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left[ 3,6 \right].\)

Từ đó \(p\left( 6 \right)\le p\left( x \right)\le p\left( 3 \right)\Rightarrow p\left( x \right)\le 0\Rightarrow g'\left( 1 \right)\le 0.\)

Điều này kéo theo \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left[ 1,2 \right]\) do đó \(g\left( 2 \right)\le g\left( x \right)\le g\left( 1 \right).\) Vì vậy \(g\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(x=1.\)

Khi đó \(b=c=1.\) Thay vào \(P\left( a,b,b \right)\) ta có

\(P\left( a,1,1 \right)={{a}^{3}}+2-3a{{\log }_{2}}a,\,\,a\in \left[ 1,2 \right].\) Ta có \(P\left( a,1,1 \right)=f\left( a \right)+2.\)

Theo tính toán ở trên ta có

\(f''\left( x \right)=6x-\frac{3}{x{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}}=\frac{6\left[ {{x}^{2}}-\frac{1}{2{{\left( \ln 2 \right)}^{2}}} \right]}{x}>0,\,\,\forall x\in \left[ 1,2 \right].\)

Vậy \(f''\) là hàm đồng biến, suy ra \(f'\left( 1 \right)\le f'\left( x \right)\le f'\left( 2 \right)\Rightarrow 0<3-\frac{3}{\ln 2}\le f'\left( x \right).\)

Do đó \(f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left[ 1,2 \right].\)

Vậy \(f\left( x \right)\le f\left( 2 \right).\)

Kéo theo \(f\left( a \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a=2.\)

Hay \(P\left( a,1,1 \right)\) đạt giá trị lớn nhất tại \(a=2.\) Khi đó \(a+b+c=4.\)

Kiểm tra lại với \(a=2,b=c=1\) thỏa mãn điều kiện \(\log _{2}^{3}a+\log _{2}^{3}b+\log _{2}^{3}c=1.\)

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Bài tập bất đẳng thức này thực sự rất khó với học sinh, ngay cả học sinh giỏi. Tính toán nhiều, biểu thức cũng tương đối cồng kềnh, ít học sinh làm được bài tập này.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.