Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Biết đồ thị
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2m{{x}^{2}}-2{{m}^{2}}+{{m}^{4}}\) có đồ thị \(\left( C \right).\) Biết đồ thị \(\left( C \right)\) có ba điểm cực trị \(A,B,C\) và \(ABDC\) là hình thoi, trong đó \(D\left( 0;-3 \right),\,A\) thuộc trục tung. Khi đó \(m\) thuộc khoảng nào?
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng điều kiện cần của cực trị hàm số để tìm điều kiện của \(m\) để hàm số có cực trị. Sau đó tìm tọa độ các điểm cực trị. Sử dụng tính chất của hình thoi để tìm giá trị của \(m.\)
Ta có \(y'=4{{x}^{3}}-4mx.\) Để đồ thị có ba điểm cực trị thì phương trình \(y'=0\Leftrightarrow 4{{x}^{3}}-4mx=0\) phải có \(3\) nghiệm phân biệt.
\(4{{x}^{3}}-4mx=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=0 \\& {{x}^{2}}=m \\\end{align} \right.\)
Khi đó điều kiện cần là \(m>0.\) Ta có ba nghiệm là \(x=0,x=\sqrt{m},x=-\sqrt{m}.\)
Với \(x=0\) thì \(y={{m}^{4}}-2{{m}^{2}}.\)
Với \(x=\pm \sqrt{m}\) thì \(y={{m}^{4}}-3{{m}^{2}}.\)
Do \(A\) thuộc trục tung nên \(A\left( 0;{{m}^{4}}-2{{m}^{2}} \right).\) Giả sử điểm \(B\) nằm bên phải của hệ trục tọa độ, khi đó
\(B\left( \sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right),\,\,C\left( -\sqrt{m};{{m}^{4}}-3{{m}^{2}} \right).\)
Ta kiểm tra được \(AD\bot BC.\)
Do đó để \(ABDC\) là hình thoi thì trước hết ta cần
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}.\) Ta có
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt m ;\left( {{m^4} - 3{m^2}} \right) - \left( {{m^4} - 2{m^2}} \right)} \right) = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right),\\\overrightarrow {CD} = \left( {\sqrt m ; - 3 - \left( {{m^4} - 3{m^2}} \right)} \right) = \left( {\sqrt m ; - {m^4} + 3{m^2} - 3} \right).\end{array}\)
Do đó
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right) = \left( {\sqrt m ; - {m^4} + 3{m^2} - 3} \right) \Leftrightarrow - {m^2} = - {m^4} + 3{m^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {m^4} - 4{m^2} + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{m^2} = 1\\{m^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \pm 1\\m = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..\end{array}\)
Do điều kiện để có ba điểm cực trị là \(m>0\) nên ta chỉ có \(m=1\) hoặc \(m=\sqrt{3}.\)
Với \(m=1\) thì \(A\left( 0;-1 \right),\,B\left( 1;-2 \right);C\left( -1;-2 \right).\) Ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( 1;-1 \right)\Rightarrow AB=\sqrt{2}.\)
Tương tự ta có \(BD=CD=CA=\sqrt{2}.\) Như vậy \(ABDC\) là hình thoi. Vậy \(m=1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Do \(m=1\notin \left( \frac{9}{5};2 \right),\left( -1;\frac{1}{2} \right),\left( 2;3 \right)\)nên các đáp án A,B,C đều sai.
Đáp án D đúng.
Với \(m=\sqrt{3}.\) Trong trường hợp này \(B\left( \sqrt[4]{3};0 \right),C\left( -\sqrt[4]{3};0 \right),\,A\left( 0;3 \right).\)Ta kiểm tra được \(AB=BD=DC=CA=\sqrt{9+\sqrt{3}}.\)
Do đó \(ABDC\) cũng là hình thoi và \(m=\sqrt{3}\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Chọn đáp án D.
Đối với bài toán thi trắc nghiệm đòi hỏi cần tiết kiệm thời gian thì chỉ cần xét trường hợp \(m=1\) thì chúng ta đã có thể kết luận được đáp án cần chọn là \(D\) mà không cần xét thêm trường hợp \(m=\sqrt{3}.\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
