Cho số phức thỏa mãn \(\left| z-2i \right|\le \left| z-4i \right|\) và \(\left| z-3-3i \right|=1.\) Giá trị

Câu hỏi số 213257:

Vận dụng cao

A. \(\sqrt{13}+1.\)

B. \(\sqrt{10}+1.\)

C. \(\sqrt{13}.\)

D. \(\sqrt{10}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213257

Phương pháp giải

Gọi \(z = a + bi,\,\left( {a,b \in } \right).\) là số phức cần tìm. Sử dụng giả thiết để đưa ra một hệ điều kiện đẳng thức, bất đẳng thức cho Sử dụng điều kiện trên để đánh giá và tìm giá trị lớn nhất của P

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.Giả sử số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán có dạng \(z = a + bi,\,\left( {a,b \in } \right).\) Khi đó ta có

\(\left\{ \begin{array}{l}\left| {z - 2i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \\\left| {z - 4i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 4i} \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\\left| {z - 3 - 3i} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 3 - 3i} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \\\left| {z - 2} \right| = \left| {\left( {a + bi} \right) - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}} \end{array} \right.\)

Từ giả thiết ta suy ra

\(\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2}} \le \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 4} \right)}^2}} \\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {b - 2} \right)^2} \le {\left( {b - 4} \right)^2}\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}b - 2 \le b - 4\,\,\left( {VN} \right)\\b - 2 \le - b + 4\end{array} \right.\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b \le 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right..\)

Từ\({\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1 \Rightarrow {\left( {a - 3} \right)^2} \le 1 \Rightarrow 2 \le a \le 4 \Rightarrow 0 \le a - 2 \le 2.\)

Do đó \(P = \left| {z - 2} \right| = \sqrt {{{\left( {a - 2} \right)}^2} + {b^2}} \le \sqrt {{2^2} + {3^2}} = \sqrt {13} .\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 2} \right)^2} = {2^2}\\b = 3\\{\left( {a - 3} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 4\\b = 3\end{array} \right..\)

Chọn đáp án C.

Chú ý khi giải

Đối với bài toán liên quan tới cực trị học sinh thường mắc phải sai lầm là quên tìm giá trị để cực trị xảy ra. Điều này có thể dẫn tới việc tìm sai giá trị lớn nhất nhỏ nhất.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.