Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,\) biết \(AB=BC=a,AD=2a,SA=a\sqrt{3}\) và \(SA\bot \left( ABCD \right).\) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SA.\) Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( NDE \right)\) theo \(a.\)
Câu 213287: Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,\) biết \(AB=BC=a,AD=2a,SA=a\sqrt{3}\) và \(SA\bot \left( ABCD \right).\) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SA.\) Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( NDE \right)\) theo \(a.\)
A. \(\frac{a\sqrt{66}}{22}.\)
B. \(2a\sqrt{66}.\)
C. \(\frac{a\sqrt{66}}{11}.\)
D. \(\frac{a\sqrt{66}}{44}.\)
Quảng cáo
Sử dụng công thức \({{V}_{SNED}}=\frac{1}{3}d\left( S,\left( NDE \right) \right){{S}_{\Delta NDE}}.\)Tính \({{S}_{\Delta NDE}},\,{{V}_{SNED}}\) để suy ra \(d\left( S,\left( NDE \right) \right).\)
-
Đáp án : C(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(E=AB\cap CD,\,G=NE\cap SB.\)
Vì \(BC//AD,\,\,BC=\frac{1}{2}AD\) nên BC là đường trung bình của tam giác ADE.
Do đó \(B,C\)lần lượt là trung điểm của \(AE,DE.\)
Do đó \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SAE.\)
Kéo theo \(SG=\frac{2}{3}SB.\)
Mà \(SM=\frac{1}{2}SB,\) nên\(SG=\frac{4}{3}SM=\frac{4}{3}\left( SG-MG \right)\Rightarrow SG=4MG.\)
Do đó
\(d\left( S,\left( NCD \right) \right)=d\left( S,\left( NED \right) \right)=4d\left( M,\left( NED \right) \right)\Rightarrow d\left( M,\left( NCD \right) \right)=\frac{1}{4}d\left( S,\left( NCD \right) \right).\)
Ta có \({{S}_{\Delta AED}}=\frac{1}{2}AD.AE=\frac{1}{2}\left( 2a \right)\left( 2a \right)=2{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{NAED}}=\frac{1}{3}NA.{{S}_{\Delta AED}}=\frac{1}{3}\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)\left( 2{{a}^{2}} \right)=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)\({{V}_{SAED}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta AED}}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{V}_{SNED}}={{V}_{SAED}}-{{V}_{NAED}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)
Mặt khác gọi \(P\)là trung điểm của \(AD,\) thì \(CP\bot AD,\,CP=PD\Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C.\)
Do đó \(CD\bot AC.\) Mà \(CD\bot SA\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot NC.\)
Ta có \(N{{C}^{2}}=N{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}=N{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}+2{{a}^{2}}=\frac{11{{a}^{2}}}{4}.\)\(E{{D}^{2}}=A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{\Delta NDE}}=\frac{1}{2}NC.ED=\frac{1}{2}\left( \frac{a\sqrt{11}}{2} \right)\left( 2\sqrt{2}a \right)=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{22}}{2}.\)
Vì \({{V}_{SNED}}=\frac{1}{3}d\left( S,\left( NDE \right) \right){{S}_{\Delta NDE}}\Rightarrow d\left( S,\left( NDE \right) \right)=\frac{3{{V}_{SNED}}}{{{S}_{\Delta NDE}}}=\frac{3\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{22}}{3}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}.\)
Chọn đáp án C.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com