Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,\) biết \(AB=BC=a,AD=2a,SA=a\sqrt{3}\)

Câu hỏi số 213287:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD,\) đáy là hình thang vuông tại \(A\) và \(B,\) biết \(AB=BC=a,AD=2a,SA=a\sqrt{3}\) và \(SA\bot \left( ABCD \right).\) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB,SA.\) Tính khoảng cách từ \(S\) đến \(\left( NDE \right)\) theo \(a.\)

A. \(\frac{a\sqrt{66}}{22}.\)

B. \(2a\sqrt{66}.\)

C. \(\frac{a\sqrt{66}}{11}.\)

D. \(\frac{a\sqrt{66}}{44}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213287

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({{V}_{SNED}}=\frac{1}{3}d\left( S,\left( NDE \right) \right){{S}_{\Delta NDE}}.\)Tính \({{S}_{\Delta NDE}},\,{{V}_{SNED}}\) để suy ra \(d\left( S,\left( NDE \right) \right).\)

Giải chi tiết

Gọi \(E=AB\cap CD,\,G=NE\cap SB.\)

Vì \(BC//AD,\,\,BC=\frac{1}{2}AD\) nên BC là đường trung bình của tam giác ADE.

Do đó \(B,C\)lần lượt là trung điểm của \(AE,DE.\)

Do đó \(G\) là trọng tâm của \(\Delta SAE.\)

Kéo theo \(SG=\frac{2}{3}SB.\)

Mà \(SM=\frac{1}{2}SB,\) nên\(SG=\frac{4}{3}SM=\frac{4}{3}\left( SG-MG \right)\Rightarrow SG=4MG.\)

Do đó

\(d\left( S,\left( NCD \right) \right)=d\left( S,\left( NED \right) \right)=4d\left( M,\left( NED \right) \right)\Rightarrow d\left( M,\left( NCD \right) \right)=\frac{1}{4}d\left( S,\left( NCD \right) \right).\)

Ta có \({{S}_{\Delta AED}}=\frac{1}{2}AD.AE=\frac{1}{2}\left( 2a \right)\left( 2a \right)=2{{a}^{2}}\Rightarrow {{V}_{NAED}}=\frac{1}{3}NA.{{S}_{\Delta AED}}=\frac{1}{3}\left( \frac{a\sqrt{3}}{2} \right)\left( 2{{a}^{2}} \right)=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)\({{V}_{SAED}}=\frac{1}{3}SA.{{S}_{\Delta AED}}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}\Rightarrow {{V}_{SNED}}={{V}_{SAED}}-{{V}_{NAED}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}.\)

Mặt khác gọi \(P\)là trung điểm của \(AD,\) thì \(CP\bot AD,\,CP=PD\Rightarrow \Delta ACD\) vuông tại \(C.\)

Do đó \(CD\bot AC.\) Mà \(CD\bot SA\Rightarrow CD\bot \left( SAC \right)\Rightarrow CD\bot NC.\)

Ta có \(N{{C}^{2}}=N{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}=N{{A}^{2}}+A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}+2{{a}^{2}}=\frac{11{{a}^{2}}}{4}.\)\(E{{D}^{2}}=A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}=8{{a}^{2}}\Rightarrow {{S}_{\Delta NDE}}=\frac{1}{2}NC.ED=\frac{1}{2}\left( \frac{a\sqrt{11}}{2} \right)\left( 2\sqrt{2}a \right)=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{22}}{2}.\)

Vì \({{V}_{SNED}}=\frac{1}{3}d\left( S,\left( NDE \right) \right){{S}_{\Delta NDE}}\Rightarrow d\left( S,\left( NDE \right) \right)=\frac{3{{V}_{SNED}}}{{{S}_{\Delta NDE}}}=\frac{3\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}}{\frac{{{a}^{2}}\sqrt{22}}{3}}=\frac{a\sqrt{66}}{11}.\)

Chọn đáp án C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.