Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=x+m\,\left( d \right)\) cắt đồ thị hàm số

Câu hỏi số 213291:

Vận dụng

Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=x+m\,\left( d \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-2}\,\,\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right).\)

A. \(m\in \mathbb{R}.\)

B. \(m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{2} \right\}.\)

C. \(m>-\frac{1}{2}.\)

D. \(m<-\frac{1}{2}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213291

Phương pháp giải

Tìm tập xác đinh của hàm số.Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{2x+1}{x-2}=x+m\)có hai nghiệm phân biệt.Giải và biện luận hệ này để tìm giá trị của \(m.\)

Giải chi tiết

Tập xác định \(x\ne 2.\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{2x+1}{x-2}=x+m\) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta cần

\(2x+1=\left( x-2 \right)\left( x+m \right)\Leftrightarrow 2x+1={{x}^{2}}+mx-2x-2m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x-\left( 2m+1 \right)=0\,\left( 1 \right)\)

có hai nghiệm phân biệt khác \(2.\)

Do \({{2}^{2}}+\left( m-4 \right).2-\left( 2m+1 \right)=-5\ne 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) nếu có nghiệm thì các nghiệm này sẽ khác \(2.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ={{\left( m-4 \right)}^{2}}+4\left( 2m+1 \right)={{m}^{2}}+20>0.\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa ta tìm được hai nghiệm này là

\({x_1} = \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2},{x_2} = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}.\)

Ta lại có

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_1} = 2 - \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\\{x_2} - 2 = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} - 2 = \frac{{ - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} < 2 < {x_2}.\)

Do đó \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) nằm về hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right)\) với mọi \(m\in R.\)

Chọn đáp án A.

Chú ý khi giải

Sai lầm. Một số học sinh khi tìm ra được điều kiện của \(m\) để phương trình có hai nghiệm sẽ bỏ qua việc tìm điều kiện của \(m\) để hai nghiệm thuộc hai nhánh của đồ thị mà đi tới kết luận nghiệm luôn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.