Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=x+m\,\left( d \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-2}\,\,\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right).\)

Câu 213291: Tìm \(m\) để đường thẳng \(y=x+m\,\left( d \right)\) cắt đồ thị hàm số \(y=\frac{2x+1}{x-2}\,\,\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right).\)

A. \(m\in \mathbb{R}.\)

B. \(m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -\frac{1}{2} \right\}.\)

C. \(m>-\frac{1}{2}.\)

D. \(m<-\frac{1}{2}.\)

Câu hỏi : 213291

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Tìm tập xác đinh của hàm số.Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{2x+1}{x-2}=x+m\)có hai nghiệm phân biệt.Giải và biện luận hệ này để tìm giá trị của \(m.\)

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Tập xác định \(x\ne 2.\)

Để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình \(\frac{2x+1}{x-2}=x+m\) có hai nghiệm phân biệt. Khi đó ta cần

\(2x+1=\left( x-2 \right)\left( x+m \right)\Leftrightarrow 2x+1={{x}^{2}}+mx-2x-2m=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-4 \right)x-\left( 2m+1 \right)=0\,\left( 1 \right)\)

có hai nghiệm phân biệt khác \(2.\)

Do \({{2}^{2}}+\left( m-4 \right).2-\left( 2m+1 \right)=-5\ne 0\) nên phương trình \(\left( 1 \right)\) nếu có nghiệm thì các nghiệm này sẽ khác \(2.\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ={{\left( m-4 \right)}^{2}}+4\left( 2m+1 \right)={{m}^{2}}+20>0.\)

Vậy phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt. Hơn nữa ta tìm được hai nghiệm này là

\({x_1} = \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2},{x_2} = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2}.\)

Ta lại có

\(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x_1} = 2 - \frac{{4 - m - \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} = \frac{{m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\\{x_2} - 2 = \frac{{4 - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} - 2 = \frac{{ - m + \sqrt {{m^2} + 20} }}{2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow {x_1} < 2 < {x_2}.\)

Do đó \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\) nằm về hai nhánh của đồ thị \(\left( C \right)\) với mọi \(m\in R.\)

Chọn đáp án A.

Chú ý:
Sai lầm. Một số học sinh khi tìm ra được điều kiện của \(m\) để phương trình có hai nghiệm sẽ bỏ qua việc tìm điều kiện của \(m\) để hai nghiệm thuộc hai nhánh của đồ thị mà đi tới kết luận nghiệm luôn.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.