Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(m\) sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa

Câu hỏi số 213344:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(m\) sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập \(S.\)

A. 10

B. 0

C. 16

D. 8

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:213344

Phương pháp giải

Phương pháp. Gọi \(z=a+bi\,\,\left( a,b\in R \right).\) Sử dụng giả thiết để tìm \(a,b\)suy ra giá trị của \(z.\) Sử dụng kết quả này để tìm giá trị của \(m\) và kết luận.

Giải chi tiết

Lời giải chi tiết.

Giả sử \(z=a+bi\,\,\left( a,b\in R \right),z\ne 4.\)

Khi đó ta có \(\frac{z}{z-4}=\frac{a+bi}{\left( a+bi \right)-4}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a-4-bi \right)}{\left( a-4+bi \right)\left( a-4-bi \right)}=\frac{a\left( a-4 \right)+{{b}^{2}}+i\left( b\left( a-4 \right)-ab \right)}{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}.\)

Để \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo thì ta phải có \(a\left( a-4 \right)+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}=0\,\left( 1 \right).\)

Từ \(\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow \left| \left( a+bi \right)-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( a-m \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=36\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \({{b}^{2}}=4a-{{a}^{2}}\)thay vào \(\left( 2 \right)\) ta nhận được

\(\begin{align} & 36={{\left( a-m \right)}^{2}}+\left( 4a-{{a}^{2}} \right) \\ & \Leftrightarrow 36={{a}^{2}}-2am+{{m}^{2}}+4a-{{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 36=\left( 4-2m \right)a+{{m}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2a\left( m-2 \right)={{m}^{2}}-36\,\,\left( 3 \right). \\ \end{align}\)

Nếu \(m=2\) thì \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm.

Nếu \(m\ne 2\) thì từ \(\left( 3 \right)\) suy ra \(a=\frac{{{m}^{2}}-36}{2m-4}.\)

Vì \({{b}^{2}}=4a-{{a}^{2}}\) nên để có duy nhất một số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện đã cho thì \(b=0\)

Ta nhận được \(a=0\) hoặc \(a=4.\)

Với \(a=4\) thì \(z=a+bi=4\) .

Loại vì \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo.Vậy \(a=b=0\Rightarrow z=0.\)

Khi đó \(\frac{{{m}^{2}}-36}{2m-4}=0\Leftrightarrow m=\pm 6.\)

Tổng các phần tử của \(S\) là \(6+\left( -6 \right)=0.\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.