Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(m\) sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập \(S.\)

Câu 213344: Gọi \(S\) là tập hợp các số thực \(m\) sao cho với mỗi \(m\in S\) có đúng một số phức thỏa mãn \(\left| z-m \right|=6\) và \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo. Tính tổng của các phần tử của tập \(S.\)

A. 10

B. 0

C. 16

D. 8

Câu hỏi : 213344

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Phương pháp. Gọi \(z=a+bi\,\,\left( a,b\in R \right).\) Sử dụng giả thiết để tìm \(a,b\)suy ra giá trị của \(z.\) Sử dụng kết quả này để tìm giá trị của \(m\) và kết luận.

Đáp án : B
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Lời giải chi tiết.

Giả sử \(z=a+bi\,\,\left( a,b\in R \right),z\ne 4.\)

Khi đó ta có \(\frac{z}{z-4}=\frac{a+bi}{\left( a+bi \right)-4}=\frac{\left( a+bi \right)\left( a-4-bi \right)}{\left( a-4+bi \right)\left( a-4-bi \right)}=\frac{a\left( a-4 \right)+{{b}^{2}}+i\left( b\left( a-4 \right)-ab \right)}{{{\left( a-4 \right)}^{2}}+{{b}^{2}}}.\)

Để \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo thì ta phải có \(a\left( a-4 \right)+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow {{a}^{2}}-4a+{{b}^{2}}=0\,\left( 1 \right).\)

Từ \(\left| z-m \right|=6\Leftrightarrow \left| \left( a+bi \right)-m \right|=6\Leftrightarrow {{\left( a-m \right)}^{2}}+{{b}^{2}}=36\left( 2 \right).\)

Từ \(\left( 1 \right)\) suy ra \({{b}^{2}}=4a-{{a}^{2}}\)thay vào \(\left( 2 \right)\) ta nhận được

\(\begin{align} & 36={{\left( a-m \right)}^{2}}+\left( 4a-{{a}^{2}} \right) \\ & \Leftrightarrow 36={{a}^{2}}-2am+{{m}^{2}}+4a-{{a}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 36=\left( 4-2m \right)a+{{m}^{2}} \\ & \Leftrightarrow 2a\left( m-2 \right)={{m}^{2}}-36\,\,\left( 3 \right). \\ \end{align}\)

Nếu \(m=2\) thì \(\left( 3 \right)\) vô nghiệm.

Nếu \(m\ne 2\) thì từ \(\left( 3 \right)\) suy ra \(a=\frac{{{m}^{2}}-36}{2m-4}.\)

Vì \({{b}^{2}}=4a-{{a}^{2}}\) nên để có duy nhất một số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện đã cho thì \(b=0\)

Ta nhận được \(a=0\) hoặc \(a=4.\)

Với \(a=4\) thì \(z=a+bi=4\) .

Loại vì \(\frac{z}{z-4}\) là số thuần ảo.Vậy \(a=b=0\Rightarrow z=0.\)

Khi đó \(\frac{{{m}^{2}}-36}{2m-4}=0\Leftrightarrow m=\pm 6.\)

Tổng các phần tử của \(S\) là \(6+\left( -6 \right)=0.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.