Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a và AB vuông góc với CD. Gọi I là trung điểm của

Câu hỏi số 215015:

Vận dụng

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a và AB vuông góc với CD. Gọi I là trung điểm của BC. M\(Mp\left( \alpha \right)\) qua I song song với AB và CD cắt tứ diện theo 1 thiết diện có diện tích là:

A. \(\frac{{{a}^{2}}}{2}\)

B. \(\frac{{{a}^{2}}}{6}\)

C. \(\frac{{{a}^{2}}}{4}\)

D. \(\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:215015

Phương pháp giải

- Xác định thiết diện bằng các yếu tố song song.

- Chứng minh thiết diện là hình vuông sau đó tính diện tích của hình vuông đó.

Giải chi tiết

Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của BD, AD và AC.

Ta có; IE // CD, FG// CD, IF // AB, EG // AB.

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel AB \subset \left( {ABC} \right)\\{\rm{IF}}\parallel {\rm{AB}}\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ABC} \right) = IF\\\left\{ \begin{array}{l}I \in \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel CD \subset \left( {BCD} \right)\\IE\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {BCD} \right) = IE\\\left\{ \begin{array}{l}F \in \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel CD \subset \left( {ACD} \right)\\{\rm{FG}}\parallel CD\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {ACD} \right) = FG\\\left( \alpha \right) \cap \left( {ABD} \right) = GE\end{array}\)

Vậy thiết diện của hình chóp khi cắt bởi là hình bình hành IEGF.

Ta có: \(IE = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}a\,\,;\,\,{\rm{IF = }}\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}a \Rightarrow IE = IF \Rightarrow IEGF\)là hình thoi cạnh \(\frac{a}{2}\).

Hơn nữa: IF // AB, IE // CD, \(AB\bot CD\Rightarrow IE\bot IF\Rightarrow IEGF\) là hình vuông cạnh \(\frac{a}{2}\).

Vậy \({{S}_{IEGF}}=\frac{{{a}^{2}}}{4}.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.