Cho đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2n}}\) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác

Câu hỏi số 215153:

Vận dụng cao

Cho đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2n}}\) nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\). Vậy giá trị của n là:

A. n = 10

B. n = 12

C. n = 8

D. n = 14

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:215153

Phương pháp giải

Chọn bất kì 3 trong 2n đỉnh nối lại với nhau ta được 1 tam giác.

Đa giác nội nội tiếp đường tròn nên chọn bất kì 2 đường chéo đi qua tâm ta đươc 1 hình chữ nhật.

Sau đó dựa vào giả thiết lập phương trình và giải phương trình tìm n.

Giải chi tiết

Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\) là \(C_{2n}^3\).

Ứng với 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2n}}\) cho tương ứng một hình chữ nhật có 4 đỉnh và là 4 điểm trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\). Và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho ra 2 đường chéo đi qua tâm của đa giác đều đó.

Số đường chéo đi qua tâm của đa giác đều 2n đỉnh là n nên số hình chữ nhật có 4 đỉnh trong 2n đỉnh là \(C_n^2\).

Theo giả thiết ta có:

\(\eqalign{ & C_{2n}^3 = 20C_n^2 \Leftrightarrow {{\left( {2n} \right)!} \over {3!\left( {2n - 3} \right)!}} = 20{{n!} \over {2!\left( {n - 2} \right)!}} \Leftrightarrow {{2n\left( {2n - 1} \right)\left( {2n - 2} \right)} \over 6} = 10n\left( {n - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 4{n^3} - 6{n^2} + 2n = 30{n^2} - 30n \Leftrightarrow 4{n^3} - 36{n^2} + 32n = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ n = 8\,\left( {tm} \right) \hfill \cr n = 1\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

(Khi n = 1 thì t có đa giác đều 2 đỉnh, vô lý).

Vậy n = 8.

Chú ý khi giải

Số hình chữ nhật không thể chọn bất kì 4 điểm trong 2n điểm \({A_1},{A_2},...,{A_n}\( là \(C_{2n}^4\) được bởi vì khi nối bất kì 4 trong 2n điểm đó ta không được hình chữ nhật mà chỉ được một tứ giác nội tiếp mà thôi!

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.