Tổng các hệ số trong khai triển \({{\left( \frac{1}{x}+{{x}^{4}} \right)}^{n}}\) là 1024. Tìm hệ số

Câu hỏi số 216192:

Nhận biết

Tổng các hệ số trong khai triển \({{\left( \frac{1}{x}+{{x}^{4}} \right)}^{n}}\) là 1024. Tìm hệ số chứa \({{x}^{5}}\).

A. 120

B. 210

C. 792

D. 972

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216192

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\).

- Viết tông các hệ số và sử dụng nhị thức Newton để tính tổng đó tìm n.

- Thay lại n vào khai triển ban đầu và tìm hệ số của \({{x}^{5}}\) bằng cách cho số mũ của x bằng 5.

Giải chi tiết

\({{\left( \frac{1}{x}+{{x}^{4}} \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{1}^{k}}{{x}^{-k}}{{x}^{4n-4k}}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{x}^{4n-5k}}}.\)

Tổng các hệ số trong khai triển trên là :

\(S=C_{n}^{0}+C_{n}^{1}+C_{n}^{2}+....+C_{n}^{n}={{\left( 1+1 \right)}^{n}}=1024\Leftrightarrow {{2}^{n}}=1024\Rightarrow n=10.\)

\(\Rightarrow {{\left( \frac{1}{x}+{{x}^{4}} \right)}^{10}}=\sum\limits_{k=0}^{10}{C_{10}^{k}{{x}^{40-5k}}}.\)

Tìm hệ số của \({{x}^{5}}\Leftrightarrow 40-5k=5\Leftrightarrow k=7.\)

Vậy hệ số của \({{x}^{5}}\) là: \(C_{10}^{7}=120.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.