Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{n}}\) biết

Câu hỏi số 216194:

Vận dụng

Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{n}}\) biết \(C_{n}^{2}C_{n}^{n-2}+2C_{n}^{2}C_{n}^{3}+C_{n}^{3}C_{n}^{n-3}=100\)

A. 9

B. 8

C. 6

D. Đáp số khác

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216194

Phương pháp giải

- Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\\C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,\left( {0 \le k \le n} \right)\end{array} \right.\) để tìm n.

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\). Tìm số hạng không chứa x ta cho số mũ của x bằng 0 \(\left( {{x}^{0}}=1 \right)\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}C_n^2C_n^{n - 2} + 2C_n^2C_n^3 + C_n^3C_n^{n - 3} = 100\,\left( {n \ge 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2} \right)^2} + 2C_n^2C_n^3 + {\left( {C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2 + C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow C_n^2 + C_n^3 = 10.\\ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) + \frac{1}{6}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 60\\ \Leftrightarrow {n^3} - n - 60 = 0\\ \Leftrightarrow n = 4\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Thay n = 4 ta có \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{4}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{x}^{4-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{4-2k}}}\)

Tìm số hạng không chứa x \(\Leftrightarrow 4-2k=0\Leftrightarrow k=2\).

Vậy số hạng không chứa x là \(C_{4}^{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}=6.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.