Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{n}}\) biết \(C_{n}^{2}C_{n}^{n-2}+2C_{n}^{2}C_{n}^{3}+C_{n}^{3}C_{n}^{n-3}=100\)

Câu 216194: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{n}}\) biết \(C_{n}^{2}C_{n}^{n-2}+2C_{n}^{2}C_{n}^{3}+C_{n}^{3}C_{n}^{n-3}=100\)

A. 9

B. 8

C. 6

D. Đáp số khác

Câu hỏi : 216194

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức: \(\left\{ \begin{array}{l}C_n^k = C_n^{n - k}\\C_n^k = \frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\,\,\left( {0 \le k \le n} \right)\end{array} \right.\) để tìm n.

- Sử dụng công thức khai triển nhị thức Newton: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\). Tìm số hạng không chứa x ta cho số mũ của x bằng 0 \(\left( {{x}^{0}}=1 \right)\).

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}C_n^2C_n^{n - 2} + 2C_n^2C_n^3 + C_n^3C_n^{n - 3} = 100\,\left( {n \ge 3} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2} \right)^2} + 2C_n^2C_n^3 + {\left( {C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow {\left( {C_n^2 + C_n^3} \right)^2} = 100\\ \Leftrightarrow C_n^2 + C_n^3 = 10.\\ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} + \frac{{n!}}{{3!\left( {n - 3} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}n\left( {n - 1} \right) + \frac{1}{6}n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right) = 10\\ \Leftrightarrow 3{n^2} - 3n + {n^3} - 3{n^2} + 2n = 60\\ \Leftrightarrow {n^3} - n - 60 = 0\\ \Leftrightarrow n = 4\,\,\left( {tm} \right).\end{array}\)

Thay n = 4 ta có \({{\left( x-\frac{1}{x} \right)}^{4}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{x}^{4-k}}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{-k}}}=\sum\limits_{k=0}^{4}{C_{4}^{k}{{\left( -1 \right)}^{k}}{{x}^{4-2k}}}\)

Tìm số hạng không chứa x \(\Leftrightarrow 4-2k=0\Leftrightarrow k=2\).

Vậy số hạng không chứa x là \(C_{4}^{2}{{\left( -1 \right)}^{2}}=6.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.