Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {{1 \over

Câu hỏi số 216594:

Thông hiểu

Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}\), biết \(C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right)\)

A. 495

B. 313

C. 1303

D. 13129

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:216594

Phương pháp giải

Từ giả thiết giải phương trình để tìm n, sử dụng các công thức định nghĩa tổ hợp, sau đó thay n và sử dụng khai triển của nhị thức Newton để tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\).

Giải chi tiết

ĐK: \(n \ge 0\)

\(\eqalign{ & C_{n + 4}^{n + 1} - C_{n + 3}^n = 7\left( {n + 3} \right) \cr & \Leftrightarrow {{\left( {n + 4} \right)!} \over {\left( {n + 1} \right)!3!}} - {{\left( {n + 3} \right)!} \over {n!3!}} = 7\left( {n + 3} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {n + 4} \right)\left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right) - \left( {n + 3} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 1} \right) = 42\left( {n + 3} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {{n^2} + 6n + 8 - {n^2} - 3n - 2 - 42} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {n + 3} \right)\left( {3n - 36} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ n = - 3\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr n = 12\,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Khi đó ta có \({\left( {{1 \over {{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^{12}}\) có số hạng tổng quát là: \({T_{k + 1}} = C_{12}^k{\left( {{1 \over {{x^3}}}} \right)^k}{\left( {\sqrt {{x^5}} } \right)^{12 - k}} = C_{12}^k{x^{ - 3k}}{x^{{5 \over 2}\left( {12 - k} \right)}} = C_{12}^k{x^{30 - {{11k} \over 2}}}\)

Số hạng chứa \({x^8} \Leftrightarrow 30 - {{11k} \over 2} = 8 \Leftrightarrow k = 4\)

Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) là \(C_{12}^4 = 495.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.