Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 3C_n^{n - 1} = 11n.\) Xét khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^n}\). Hệ số lớn nhất của P(x) là:

Câu 216602: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(A_n^2 - 3C_n^{n - 1} = 11n.\) Xét khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^n}\). Hệ số lớn nhất của P(x) là:

A. \(C_{15}^5{2^{11}}\)

B. \(C_{15}^5{2^{10}}\)

C. 252

D. 129024

Câu hỏi : 216602

Phương pháp giải:

Tìm n

Viết số hạng tổng quát là \({T_{k + 1}}\) sau đó suy ra hệ số của số hạng \({T_{k + 1}}\) là \({a_{k + 1}}\).

Để \({a_{k + 1}}\) là hệ số lớn nhất thì \(\left\{ \matrix{ {a_{k + 1}} > {a_k} \hfill \cr {a_{k + 1}} > {a_{k + 2}} \hfill \cr} \right.\)

Đáp án : B
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐK: \(n \ge 2\)

\(\eqalign{ & A_n^2 - 3C_n^{n - 1} = 11n \Leftrightarrow {{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} - 3{{n!} \over {\left( {n - 1} \right)!1!}} = 11n \cr & \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) - 3n - 11n = 0 \Leftrightarrow {n^2} - 15n = 0 \Leftrightarrow n = 15. \cr & \Rightarrow P\left( x \right) = {\left( {x + 2} \right)^{15}} \cr} \)

Số hạng tổng quát

Số hạng tổng quát \({T_{k + 1}} = C_{15}^k{x^k}{2^{15 - k}}\,\,\left( {0 \le k \le 10,k \in N} \right)\)

Hệ số của \({T_{k + 1}}\) là \({a_{k + 1}} = C_{15}^k{2^{15 - k}}\)

Hệ số liền trước \({a_k} = C_{15}^{k - 1}{2^{15 - \left( {k - 1} \right)}} = C_{15}^{k - 1}{2^{16 - k}}\)

Hệ số liền sau \({a_{k + 2}} = C_{15}^{k + 1}{2^{15 - \left( {k + 1} \right)}} = C_{15}^{k + 1}{2^{14 - k}}\)

Để \({a_{k + 1}}\) là hệ số lớn nhất thì

\(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {a_{k + 1}} > {a_k} \hfill \cr {a_{k + 1}} > {a_{k + 2}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ C_{15}^k{2^{15 - k}} > C_{15}^{k - 1}{2^{16 - k}} \hfill \cr C_{15}^k{2^{15 - k}} > C_{15}^{k + 1}{2^{14 - k}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{15!} \over {k!\left( {15 - k} \right)!}}{2^{15 - k}} > {{15!} \over {\left( {k - 1} \right)!\left( {16 - k} \right)!}}{2^{16 - k}} \hfill \cr {{15!} \over {k!\left( {15 - k} \right)!}}{2^{15 - k}} > {{15!} \over {\left( {k + 1} \right)!\left( {14 - k} \right)!}}{2^{14 - k}} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {1 \over k} > {2 \over {16 - k}} \hfill \cr {2 \over {15 - k}} > {1 \over {k + 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {{16 - k - 2k} \over {k\left( {16 - k} \right)}} > 0 \hfill \cr {{2k + 2 - 15 + k} \over {\left( {15 - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ k < {{16} \over 3} \hfill \cr k > {{13} \over 3} \hfill \cr} \right. \Rightarrow k = 5. \cr} \)

Vậy hệ số lớn nhất là \({a_6} = C_{15}^5{2^{10}}.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.