Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \(6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160.\) Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \(\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^n}.\)

Câu 219584: Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện \(6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160.\) Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \(\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^n}.\)

A. \( - \,2224.\)

B. \(2224.\)

C. \(1996.\)

D. \( - \,1996.\)

Câu hỏi : 219584

Phương pháp giải:

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\)
Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Đáp án : A
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Từ giả thiết, ta có \(6.C_{n\, + \,1}^{n\, - \,1} = A_n^2 + 160 \Leftrightarrow 6.{{\left( {n + 1} \right)!} \over {\left( {n - 1} \right)!.2!}} = {{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} + 160.\)

\( \Leftrightarrow 3n\left( {n + 1} \right) = n\left( {n - 1} \right) + 160 \Leftrightarrow 2{n^2} + 4n - 160 = 0 \Leftrightarrow n = 8\) (vì điều kiện \(n \ge 2\)).

Khi đó, ta được khai triển \(\left( {1 - 2{x^3}} \right){\left( {2 + x} \right)^8} = {\left( {2 + x} \right)^8} - 2{x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}.\)

Theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {2 + x} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k}.\) Suy ra hệ số của \({x^7}\) ứng với \(k = 7.\)

\(\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {2 + x} \right)^8}\) là \(2.C_8^7.\)
\({x^3}{\left( {2 + x} \right)^8} = {x^3}.\sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{x^{k\, + \,3}}.\) Suy ra hệ số của \({x^7}\) ứng với \(k + 3 = 7 \Leftrightarrow k = 4.\)
\(\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({x^3}{\left( {2 + x} \right)^8}\) là \({2^4}.C_8^4.\)

Vậy hệ số cần tìm là \(2.C_8^7 - {2.2^4}.C_8^4 = - \,2224.\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.