Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^{n\, - \,3} - C_{n\, - \,1}^2 = C_{n\, - \,1}^1.C_{n\, + 3}^{n\, + \,2}.\) Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {{x^{n\, - \,8}} - {n \over {3x}}} \right)^n}\) với \(x \ne 0.\)
Câu 219587: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn \(C_n^{n\, - \,3} - C_{n\, - \,1}^2 = C_{n\, - \,1}^1.C_{n\, + 3}^{n\, + \,2}.\) Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) trong khai triển \({\left( {{x^{n\, - \,8}} - {n \over {3x}}} \right)^n}\) với \(x \ne 0.\)
A. \(C_{12}^6{.4^6}.\)
B. \(C_{12}^8{.4^8}.\)
C. \(16.C_{12}^2.\)
D. \(C_{12}^7{.4^7}.\)
Quảng cáo
Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.
-
Đáp án : B(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Phương trình \(C_n^{n\, - \,3} - C_{n\, - \,1}^2 = C_{n\, - \,1}^1.C_{n\, + 3}^{n\, + \,2} \Leftrightarrow {{n!} \over {\left( {n - 3} \right)!.3!}} - {{\left( {n - 1} \right)!} \over {\left( {n - 3} \right)!.2!}} = \left( {n - 1} \right).{{\left( {n + 3} \right)!} \over {\left( {n + 2} \right)!}}.\)
\( \Leftrightarrow {{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)} \over 6} - {{\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)} \over 2} = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow {{{n^2} - 2n} \over 6} - {{n - 2} \over 2} = n + 3.\)
\( \Leftrightarrow {n^2} - 2n - 3\left( {n - 2} \right) = 6\left( {n + 3} \right) \Leftrightarrow {n^2} - 11n - 12 = 0 \Leftrightarrow n = 12\) (vì điều kiện \(n \ge 3\)).
Với \(n = 12 \Rightarrow {\left( {{x^{n\, - \,8}} - {n \over {3x}}} \right)^n} = {\left( {{x^4} - {4 \over x}} \right)^{12}},\) theo khai triển nhị thức Newton, ta có
\({\left( {{x^4} - {4 \over x}} \right)^{12}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( {{x^4}} \right)^{12\, - \,k}}.{\left( { - {4 \over x}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( { - \,4} \right)^k}.{{{x^{48\, - \,4k}}} \over {{x^k}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^{12} {C_{12}^k} .{\left( { - \,4} \right)^k}.{x^{48\, - \,5k}}.\)
Hệ số của số hạng chứa \({x^8}\) ứng với \(48 - 5k = 8 \Leftrightarrow k = 8\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_{12}^8{.4^8}.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
