Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {{2 \over x} - {x^3}} \right)^n}\) với \(x

Câu hỏi số 219525:

Vận dụng

Tìm hệ số của \({x^4}\) trong khai triển biểu thức \({\left( {{2 \over x} - {x^3}} \right)^n}\) với \(x \ne 0,\) biết \(n\) là số tự nhiên thỏa mãn hệ thức \(C_{n\, - \,4}^{n\, - \,6} + n.A_n^2 = 454.\)

A. \( - \,1120.\)

B. (1120.\)

C. \( - \,1792.\)

D. \(1792.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:219525

Phương pháp giải

Tìm \(n\) bằng các công thức \({P_n} = n!;\,\,A_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!}}\) và \(C_n^k = {{n!} \over {\left( {n - k} \right)!.k!}}.\) Sử dụng công thức tổng quát \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k\, = \,0}^n {C_n^k} .{a^{n\, - \,k}}.{b^k}\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Tìm hệ số của số hạng cần tìm.

Giải chi tiết

Ta có \(C_{n\, - \,4}^{n\, - \,6} + n.A_n^2 = 454 \Leftrightarrow {{\left( {n - 4} \right)!} \over {\left( {n - 6} \right)!.2!}} + n.{{n!} \over {\left( {n - 2} \right)!}} = 454 \Leftrightarrow {{\left( {n - 4} \right)\left( {n - 5} \right)} \over 2} + {n^2}\left( {n - 1} \right) = 454.\)

\( \Leftrightarrow {n^2} - 9n + 20 + 2{n^2}\left( {n - 1} \right) = 908 \Leftrightarrow 2{n^3} - {n^2} - 9n - 888 = 0\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \,\,n = 8.\)

Với \(n = 8,\) theo khai triển nhị thức Newton, ta có

\({\left( {{2 \over x} - {x^3}} \right)^8} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} .{\left( {{2 \over x}} \right)^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,{x^3}} \right)^k} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{{{x^{3k}}} \over {{x^{8\, - \,k}}}} = \sum\limits_{k\, = \,0}^8 {C_8^k} {.2^{8\, - \,k}}.{\left( { - \,1} \right)^k}.{x^{4k\, - \,8}}.\)

Hệ số của số hạng chứa \({x^4}\) ứng với \(4k - 8 = 4 \Leftrightarrow k = 3\,\,\buildrel {} \over \longrightarrow \) Hệ số cần tìm là \(C_8^3{.2^5}.{\left( { - \,1} \right)^3} = - \,1792.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.