Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\)có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của k để đường thẳng \(y=k(x-2)\)cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt \(M(2;0),\,N,\,P\)sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

Câu 234266: Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\)có đồ thị (C). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của k để đường thẳng \(y=k(x-2)\)cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt \(M(2;0),\,N,\,P\)sao cho các tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 2

B. -1

C. -2

D. 1

Câu hỏi : 234266

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=k(x-2)\) và (C) là:

\(\begin{array}{l}{x^3} - 3{x^2} + 4 = k(x - 2)\\ \Leftrightarrow (x - 2)({x^2} - x - 2) - k(x - 2) = 0\\ \Leftrightarrow (x - 2)\left[ {{x^2} - x - k} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\{x^2} - x - k = 0\,\,\,(*)\end{array} \right.\end{array}\)

*) \(x=2\Rightarrow y=0\Rightarrow M(2;0)\)

*) \({{x}^{2}}-x-k=0\)

Để (C) cắt d tại 3 điểm phân biệt M, N, P thì phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2

\(\Rightarrow \Delta >0\Leftrightarrow 1+4k>0\Leftrightarrow k>-\frac{1}{4}\) (2*)

Gọi \({{x}_{1}},\,\,{{x}_{2}}\) lần lượt là hoành độ của điểm N, P. Theo Vi – et, ta có: \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1,\,\,{{x}_{1}}.{{x}_{2}}=-k\)

Ta có: \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+4\Rightarrow y'=3{{x}^{2}}-6x\)

Tiếp tuyến của (C) tại N và P vuông góc với nhau \(\Leftrightarrow y'({{x}_{1}}).y'({{x}_{2}})=-1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {3{x_1}^2 - 6{x_1}} \right)\left( {3{x_2}^2 - 6{x_2}} \right) = - 1 \Leftrightarrow {\left( {3{x_1}{x_2}} \right)^2} - 18{x_1}{x_2}({x_1} + {x_2}) + 36{x_1}{x_2} + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( { - 3k} \right)^2} - 18.( - k).1 + 36.( - k) + 1 = 0\\ \Leftrightarrow 9{k^2} - 18k + 1 = 0 \Leftrightarrow k = \frac{{3 \pm 2\sqrt 2 }}{3}\,\,(tm\,\,\,(2*))\end{array}\)

Dễ dàng kiểm tra, với \(k=\frac{3+2\sqrt{2}}{3}\,\)hoặc \(k=\frac{3-2\sqrt{2}}{3}\,\)phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 2.

Vậy tổng các phần tử của S là: 2

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.