Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho \(C_{14}^{k},\,C_{14}^{k+1},\,\,C_{14}^{k+2}\) theo

Câu hỏi số 234267:

Vận dụng

Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên k sao cho \(C_{14}^{k},\,C_{14}^{k+1},\,\,C_{14}^{k+2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Tính tổng tất cả các phần tử của S.

A. 8

B. 6

C. 12

D. 10

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:234267

Phương pháp giải

Dãy số \(\left( {{x}_{n}} \right),\,\,n\in \mathbb{N}\)lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi \({{x}_{k}}+{{x}_{k+2}}=2{{x}_{k+1}},\,\,\forall k\in \mathbb{N}\).

Giải chi tiết

\(C_{14}^{k},\,C_{14}^{k+1},\,\,C_{14}^{k+2}\) theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow C_{14}^k\, + \,C_{14}^{k + 2} = 2.C_{14}^{k + 1} \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{(14 - k)!k!}} + \frac{{14!}}{{(12 - k)!(k + 2)!}} - \frac{{2.14!}}{{(13 - k)!(k + 1)!}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{{14!}}{{(14 - k).(13 - k).(12 - k)!\,k!}} + \frac{{14!}}{{(12 - k)!.(k + 2).(k + 1).k!}} - \frac{{2.14!}}{{(13 - k).(12 - k)!.(k + 1).k!}} = 0\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{(14 - k).(13 - k)}} + \frac{1}{{(k + 2).(k + 1)}} - \frac{2}{{(13 - k).(k + 1)}} = 0\\ \Leftrightarrow (k + 2)(k + 1) + (14 - k)(13 - k) - 2(14 - k)(k + 2) = 0\\ \Leftrightarrow {k^2} + 3k + 2\,\,\,\,\,\, + 182 - 27k + {k^2}\,\,\, - 2(28 + 12k - {k^2}) = 0\\ \Leftrightarrow 4{k^2} - 48k + 128 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 4\\k = 8\end{array} \right.\end{array}\)

Tổng các phần tử của S là : 4 + 8 = 12.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.