Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \((0;\pi )\)của phương trình \(\sqrt{2}\cos 3x=\sin \,x+\cos x\).

Câu 234270: Tính tổng tất cả các nghiệm thuộc khoảng \((0;\pi )\)của phương trình \(\sqrt{2}\cos 3x=\sin \,x+\cos x\).

A. \(\frac{\pi }{2}.\)

B. \(3\pi .\)

C. \(\frac{3\pi }{2}.\)

D. \(\pi .\)

Câu hỏi : 234270

Quảng cáo

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\sqrt 2 \cos 3x = \sin \,x + \cos x \Leftrightarrow \cos 3x = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\sin \,x + \frac{1}{{\sqrt 2 }}\cos x \Leftrightarrow \cos 3x = \sin \frac{\pi }{4}.\sin \,x + \cos \frac{\pi }{4}.\cos x\\ \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = - x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.,\,k \in \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{8} + k\pi \\x = \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2}\end{array} \right.,\,k \in \end{array}\)

Mà \(x\in (0;\pi )\):

*) Xét họ nghiệm \(x=-\frac{\pi }{8}+k\pi ,\,\,k\in \mathbb{Z}:\)

\(0<-\frac{\pi }{8}+k\pi <\pi \Leftrightarrow \frac{\pi }{8}<k\pi <\frac{9\pi }{8}\Leftrightarrow \frac{1}{8}<k<\frac{9}{8}\Rightarrow k=1\Rightarrow x=\frac{7\pi }{8}\)

*) Xét họ nghiệm \(x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{2},\,\,k\in \mathbb{Z}:\)

\(0 < \frac{\pi }{{16}} + k\frac{\pi }{2} < \pi \Leftrightarrow - \frac{\pi }{{16}} < k\frac{\pi }{2} < \frac{{15\pi }}{{16}} \Leftrightarrow - \frac{1}{8} < k < \frac{{15}}{8} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}k = 0\\k = 1\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}k = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi }{{16}}\\k = 1 \Rightarrow x = \frac{{9\pi }}{{16}}\end{array}\)

Tổng các nghiệm thỏa mãn là: \(\frac{7\pi }{8}+\frac{\pi }{16}+\frac{9\pi }{16}=\frac{3\pi }{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.