Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn \({{\left[ f(1+2x)

Câu hỏi số 241368:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định và có đạo hàm trên R thỏa mãn \({{\left[ f(1+2x) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f(1-x) \right]}^{3}}\). Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm có hoành độ bằng 1.

A. \(y=-x+\frac{6}{7}\).

B. \(y=\frac{1}{7}x-\frac{8}{7}\).

C. \(y=-\frac{1}{7}x+\frac{8}{7}\).

D. \(y=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}\).

Đáp án đúng là: D

Phương pháp giải

+) Công thức đạo hàm hàm hợp: \(y=f\left( u(x) \right)\,\,\Rightarrow \,\,y'=f'\left( u(x) \right).u'(x)\)

+) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) tại điểm \({{M}_{0}}\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\): \(y=f'({{x}_{0}}).(x-{{x}_{0}})+f({{x}_{0}})\)

Giải chi tiết

Ta có: \({{\left[ f(1+2x) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f(1-x) \right]}^{3}}\). Cho \(x=0\Rightarrow {{\left[ f(1) \right]}^{2}}=0-{{\left[ f(1) \right]}^{3}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} f(1)=-1 \\ f(1)=0 \\ \end{align} \right.\)

Đạo hàm hai vế của \({{\left[ f(1+2x) \right]}^{2}}=x-{{\left[ f(1-x) \right]}^{3}}\), ta được:

\(\begin{align} \,\,\,\,\,\,\,2.f(1+2x).\left[ f(1+2x) \right]'=1-3.{{\left[ f(1-x) \right]}^{2}}.{{\left[ f(1-x) \right]}^{'}} \\ \Leftrightarrow 2.f(1+2x).f'(1+2x).(1+2x)'=1-3.{{\left[ f(1-x) \right]}^{2}}.f'(1-x).(1-x)' \\ \Leftrightarrow 4f(1+2x).f'(1+2x)=1+3{{\left[ f(1-x) \right]}^{2}}.f'(1-x) \\ \end{align}\)

Cho \(x=0\Rightarrow 4f(1).f'(1)=1+3{{f}^{2}}(1).f'(1)\).

+) Nếu \(f(1)=-1\) thì \(-4f'(1)=1+3f'(1)\Leftrightarrow f'(1)=\frac{-1}{7}\)

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y=f'(1).(x-1)+f(1)\Leftrightarrow y=-\frac{1}{7}.(x-1)-1\Leftrightarrow y=-\frac{1}{7}x-\frac{6}{7}\)

+) Nếu \(f(1)=0\) thì \(4.0.f'(1)=1+{{3.0}^{0}}.f'(1)\Leftrightarrow 0=1\) vô lý.

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:241368

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.