Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\) và có \(AC = a, BD = b\). Tam giác \(SBD\) là

Câu hỏi số 246179:

Vận dụng cao

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình bình hành tâm \(O\) và có \(AC = a, BD = b\). Tam giác \(SBD\) là tam giác đều. Một mặt phẳng \((P)\) di động song song với \((SBD)\) đi qua \(I\) trên đoạn \(OC\). Đặt \(AI = x\,\,\left( {{a \over 2} < x < a} \right)\). Khi đó diện tích thiết diện của hình chóp với mặt phẳng \((P)\) là:

A. \({{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 2 } \over {{a^2}}}\)

B. \({{{b^2}{{\left( {a + x} \right)}^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}}}\)

C. \({{{b^2}{{\left( {a + x} \right)}^2}} \over {{a^2}\sqrt 3 }}\)

D. \({{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:246179

Phương pháp giải

Dựng mặt phẳng qua I và song song với (SBD), dựng thiết diện.

Chứng minh thiết diện là tam giác đều và tính diện tích tam giác đều đó.

Giải chi tiết

Trong (ABCD) qua I kẻ EF // BD \(\left( {E \in BC;F \in CD} \right)\)

Trong (SAC) qua I kẻ IG // SO \(\left( {G \in SC} \right)\)

\( \Rightarrow \left( {GEF} \right)\) qua I và song song với (SBD) \( \Rightarrow \left( P \right) \equiv \left( {GEF} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \matrix{ \left( {GEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = GE \hfill \cr \left( {SBD} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB \hfill \cr \left( {GEF} \right)//\left( {SBD} \right) \hfill \cr} \right. \Rightarrow GE//SB\)

Tương tự ta chứng minh được GF // SD.

Ta có:

\(\left\{ \matrix{ {{IC} \over {OC}} = {{FE} \over {BD}} = {{GC} \over {SC}} = {{GE} \over {SB}} = {{GF} \over {SD}} \hfill \cr BD = SB = SD \hfill \cr} \right. \Rightarrow GE = GF = EF \Rightarrow \Delta GEF\) đều và \({{IC} \over {OC}} = {{EF} \over {BD}} \Rightarrow EF = {{IC} \over {OC}}.BD = {{2(a - x)} \over a}.b\)

\( \Rightarrow \Delta GEF\) đều cạnh \({{2(a - x)} \over a}.b\), do đó \({S_{\Delta GEF}} = {{{{4\left( {{{a - x} \over a}} \right)}^2}.{b^2}\sqrt 3 } \over 4} = {{{b^2}{{\left( {a - x} \right)}^2}\sqrt 3 } \over {{a^2}}}\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.