Phương trình \(5{\cos ^2}x + 8\left( {m + 1} \right)\sin x\cos x = 4m + {\sin ^2}x\) (với m là tham số) có

Câu hỏi số 296703:

Vận dụng

Phương trình \(5{\cos ^2}x + 8\left( {m + 1} \right)\sin x\cos x = 4m + {\sin ^2}x\) (với m là tham số) có nghiệm khi và chỉ khi :

A. \(m \ge - \frac{{21}}{{48}}\)

B. \(\forall m \in R\)

C. \( - \frac{{21}}{{48}} \le \frac{{21}}{{48}} \le m\)

D. \(m \le \frac{{21}}{{48}}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:296703

Phương pháp giải

+) TH1: Xét \(\cos x = 0\).

+) TH2: \(\cos x \ne 0\). Chia cả 2 vế cho \({\cos ^2}x\).

Giải chi tiết

TH1:Khi \(\cos x = 0 \Leftrightarrow {\sin ^2}x = 1\), ta có \(0 + 0 = 4m + 1 \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4}\).

\( \Rightarrow m = - \frac{1}{4}\) phương trình có nghiệm \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) .

TH2 :\(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow m \ne - \frac{1}{4}\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,5 + 8\left( {m + 1} \right)\tan x = 4m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \left( {4m + 1} \right){\tan ^2}x - 8\left( {m + 1} \right)\tan x + 4m - 5 = 0\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Phương trình (*) có nghiệm \( \Rightarrow \Delta ' \ge 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 16{\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {4m + 1} \right)\left( {4m - 5} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 16{m^2} + 32m + 16 - 16{m^2} + 16m + 5 \ge 0\\ \Leftrightarrow 48m + 21 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \frac{{ - 21}}{{48}}\end{array}\)

Kết hợp 2 trường hợp ta có \(m \ge - \frac{{21}}{{48}}\).

Chú ý khi giải

Nhiều học sinh mắc sai lầm khi không xét TH \(\cos x = 0\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.