Trong tất cả các hình thang cân có cạnh bên bằng \(2\) và cạnh đáy nhỏ bằng \(4\) , tính chu vi
Trong tất cả các hình thang cân có cạnh bên bằng \(2\) và cạnh đáy nhỏ bằng \(4\) , tính chu vi \(P\) của hình thang có diện tích lớn nhất.
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính chu vi hình thang, diện tích hình thang và áp dụng định lý Pi-ta-go.
Xét hàm số, tìm giá trị lớn nhất.
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A đến CD ta có: \({S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2}\)
Đặt \(AH = x\;\;\left( {0 < x < 2} \right).\)
Khi đó áp dụng định lý Pi-ta-go ta có: \(DH = \sqrt {A{D^2} - A{H^2}} = \sqrt {4 - {x^2}} .\)
Ta có: \(DH = CK = \sqrt {4 - {x^2}} \Rightarrow CD = 2\sqrt {4 - {x^2}} + 4.\)
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{{\left( {AB + CD} \right).AH}}{2} = \frac{{\left( {4 + 2\sqrt {4 - {x^2}} + 4} \right).x}}{2} = \frac{{\left( {8 + 2\sqrt {4 - {x^2}} } \right)x}}{2}.\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {8 + 2\sqrt {4 - {x^2}} } \right)x = 8x + 2x\sqrt {4 - {x^2}} \;\;\left( {0 < x < 2} \right)\)
Ta có: \(f'\left( x \right) = 8 + 2\sqrt {4 - {x^2}} - \frac{{4{x^2}}}{{2\sqrt {4 - {x^2}} }} = 8 + \frac{{2\left( {4 - {x^2}} \right) - 2{x^2}}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 8 + \frac{{4\left( {2 - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }}.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 8 + \frac{{4\left( {2 - {x^2}} \right)}}{{\sqrt {4 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 8\sqrt {4 - {x^2}} + 4\left( {2 - {x^2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {4 - {x^2}} = {x^2} - 2 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2 \ge 0\\4\left( {4 - {x^2}} \right) = {x^4} - 4{x^2} + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} \ge 2\\{x^4} = 12\end{array} \right. \Leftrightarrow {x^2} = 2\sqrt 3 \,\,\left( {tm} \right)\\ \Rightarrow {S_{\,Max}} \Leftrightarrow {x^2} = 2\sqrt 3 \Rightarrow CD = 2\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } + 4 = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) + 4 = 2\sqrt 3 + 2\end{array}\)
Khi đó chu vi của hình thang là:
\(P = AB + 2AD + CD = 4 + 2.2 + 2\sqrt 3 + 2 = 10 + 2\sqrt 3 .\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
