Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{1 - x}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {m;1}

Câu hỏi số 311684:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{x - 2}}{{1 - x}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và điểm \(A\left( {m;1} \right)\). Gọi S là tập các giá trị của \(m\) để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) đi qua \(A\). Tính tổng bình phương các phần tử của tập \(S.\)

A. \(\dfrac{{25}}{4}\)

B. \(\dfrac{9}{4}\)

C. \(\dfrac{5}{2}\)

D. \(\dfrac{{13}}{4}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:311684

Phương pháp giải

+) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\).

+) Thay tọa độ điểm A vào phương trình tiếp tuyến, rút ra phương trình bậc hai ẩn \({x_0}\).

+) Tìm điều kiện để phương trình bậc hai ẩn \({x_0}\) có 1 nghiệm thỏa mãn ĐKXĐ.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\). Ta có \(y' = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\).

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ \(x = {x_0}\) là:

\(y = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\,\,\,\left( d \right)\)

Vì \(A \in \left( d \right) \Rightarrow 1 = \dfrac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - {x_0}} \right)}^2}}}\left( {m - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} - 2}}{{1 - {x_0}}}\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 - {x_0}} \right)^2} = - m + {x_0} - x_0^2 + 3{x_0} - 2 \Leftrightarrow 2x_0^2 - 6{x_0} + m + 3 = 0\,\,\left( * \right)\)

Để có đúng một tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) qua \(A\) thì:

TH1: Phương trình (*) có nghiệm kép \(\Delta ' = 9 - 2m - 6 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{3}{2}\).

TH2: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \(x = 1\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 9 - 2m - 6 > 0\\2 - 6 + m + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{3}{2}\\m = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\).

\(S = \left\{ {\dfrac{3}{2};1} \right\} \Rightarrow {\left( {\dfrac{3}{2}} \right)^2} + {1^2} = \dfrac{{13}}{4}\).

Chú ý khi giải

Nhiều HS thiếu trường hợp 2: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt trong đó có nghiệm \({x_0} = 1\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.