Cho hàm số \(f\left( x \right)\) dương thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = e\) và \({x^2}f'\left( x \right) =

Câu hỏi số 320275:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) dương thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = e\) và \({x^2}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right),\,\forall x \ne \pm 1\). Giá trị \(f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)\) là:

A. \({e^{\sqrt 3 }}\).

B. \(e\sqrt 3 \).

C. \({e^2}\)

D. \(\dfrac{e}{{\sqrt 3 }}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320275

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức đã cho, tích phân hai vế với cận \(x = 0,\,\,x = \dfrac{1}{2}\).

Giải chi tiết

Ta có: \({x^2}f'\left( x \right) = f\left( x \right) + f'\left( x \right),\,\forall x \ne \pm 1\,\, \Rightarrow f'\left( x \right).\left( {{x^2} - 1} \right) = f\left( x \right) \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{1}{{{x^2} - 1}}\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{f\left( x \right)}}} dx = \int\limits_0^{\frac{1}{2}} {\dfrac{1}{{{x^2} - 1}}dx} \Leftrightarrow \left. {\ln \left| {f\left( x \right)} \right|} \right|_0^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}\left. {\ln \left| {\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right|} \right|_0^{\frac{1}{2}} \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right| - \ln \left| e \right| = \dfrac{1}{2}\left( {\ln \dfrac{1}{3} - \ln 1} \right)\)\( \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( {\frac{1}{2}} \right)} \right| - 1 = - \dfrac{1}{2}\ln 3 \Leftrightarrow \ln \left| {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)} \right| = \ln \dfrac{e}{{\sqrt 3 }} \Leftrightarrow \left| {f\left( {\dfrac{1}{2}} \right)} \right| = \dfrac{e}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow f\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{e}{{\sqrt 3 }}\) (do hàm số \(f\left( x \right)\) dương)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.