Cho các số thực a, b thỏa mãn \(0 < a < 1 < b,\,\,ab > 1\). Giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 320277:

Vận dụng

Cho các số thực a, b thỏa mãn \(0 < a < 1 < b,\,\,ab > 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}}\) bằng

A. 3

B. -4

C. 4

D. 2

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320277

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức biến đổi logarit để rút gọn biểu thức P.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P = {\log _a}ab + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}} = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\dfrac{{{{\log }_a}ab}}{{{{\log }_a}\dfrac{a}{b}}}}}\\ = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\dfrac{{1 + {{\log }_a}b}}{{1 - {{\log }_a}b}}}} = 1 + {\log _a}b + \dfrac{4}{{{{\log }_a}b + 1}}\end{array}\)

Do \(0 < a < 1 < b\) nên \(1 + {\log _a}b < 0\). Áp dụng BĐT Cô si ta có: \( - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + \dfrac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}} \ge 2\sqrt {\left[ { - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right)} \right].\dfrac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}} = 4\)\( \Rightarrow P \le - 4\)

\({P_{\max }} = - 4\) khi và chỉ khi \(1 + {\log _a}b = - 2 \Leftrightarrow {\log _a}b = - 3 \Leftrightarrow b = \dfrac{1}{{{a^3}}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.