Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( { - 3;5; - 5} \right),\,B\left( {5; - 3;7}

Câu hỏi số 320524:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm \(A\left( { - 3;5; - 5} \right),\,B\left( {5; - 3;7} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y + z = 0\). Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho \(M{A^2} - 2M{B^2}\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(M\left( { - 2;1;1} \right)\).

B. \(M\left( {2; - 1;1} \right)\).

C. \(M\left( {6; - 18;12} \right)\).

D. \(M\left( { - 6;18;12} \right)\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:320524

Phương pháp giải

Xác định điểm \(I\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \).

Giải chi tiết

Lấy \(I\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn: \(\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 3 - a = 2\left( {5 - a} \right)\\5 - b = 2\left( { - 3 - b} \right)\\ - 5 - c = 2\left( {7 - c} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 13\\b = - 11\\c = 19\end{array} \right.\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}M{A^2} - 2M{B^2} = {\overrightarrow {MA} ^2} - 2{\overrightarrow {MB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2}\\ = - M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IA} - 2\overrightarrow {IB} } \right) + I{A^2} - 2I{B^2} = - M{I^2} + I{A^2} - 2I{B^2}\end{array}\)

\({\left( {M{A^2} - 2M{B^2}} \right)_{\max }} \Leftrightarrow M{I_{\min }} \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I lên (P)

Phương trình đường thẳng d đi qua I và vuông góc (P) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 13 + t\\y = - 11 + t\\z = 19 + t\end{array} \right.\)

Giả sử \(M\left( {13 + t; - 11 + t;19 + t} \right)\). Mà \(M \in \left( P \right) \Rightarrow \)\(13 + t + \left( { - 11 + t} \right) + 19 + t = 0 \Leftrightarrow t = - 7\)\( \Rightarrow M\left( {6; - 18;12} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.