Phương trình \(m{x^{2019}} + 2{x^2}\sin x + 1 = 0\) có nghiệm với giá trị nào của \(m\) ?

Câu hỏi số 328228:

Vận dụng

A. \(m \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

B. \(m \in \mathbb{R}\)

C. \(m \in \left( {0; + \infty } \right)\)

D. \(m \in \left[ {0; + \infty } \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:328228

Phương pháp giải

Xét hàm số \(f\left( x \right) = m{x^{2019}} + 2{x^2}\sin x + 1\) với \(m = 0\) và \(m \ne 0.\)

Giải chi tiết

Hàm số \(f\left( x \right) = m{x^{2019}} + 2{x^2}\sin x + 1\).

Với \(m = 0\) thì \(f\left( x \right) = 2{x^2}\sin x + 1\) .

Ta có \(f\left( 0 \right) = 1;f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{2} \Rightarrow f\left( 0 \right)f\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = 1 - \frac{{{\pi ^2}}}{2} < 0\) và do \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right) = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right).\)

Với \(m > 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) và do \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.

Với \(m < 0\) thì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = + \infty \) và do \(f\left( x \right)\) là hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right) = 0\) có nghiệm.

Vậy \(\forall m \in \mathbb{R}\) phương trình có nghiệm.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.