Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh \(2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt

Câu hỏi số 332167:

Vận dụng cao

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh \(2a\). Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và \(SA = 2a\sqrt 3 \).

a) Chứng minh \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right)\), \(\left( {SAC} \right) \bot \left( {SBD} \right)\).

b) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\).

c) Tính góc giữa mặt phẳng \((SBD)\) và mặt phẳng \((ABCD)\).

d) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng\(\left( {SBD} \right)\) và khoảng cách từ trọng tâm \(G\) của tam giác \(SAB\) đến mặt phẳng \((SBD)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:332167

Phương pháp giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}d \bot \left( P \right)\\\left( Q \right) \supset d\end{array} \right. \Rightarrow \left( P \right) \bot \left( Q \right)\).

b) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng đó.

c) Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

d) Sử dụng phương pháp đổi đỉnh.

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot SA\,\,\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BD \bot AC\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SBD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\).

b) Ta có \(BC \bot \left( {SAB} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) = \angle \left( {SC;SB} \right) = \angle CSB\).

Trong tam giác \(SBC\) vuông tại \(B\) ta có :

\(\begin{array}{l}SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {12{a^2} + 4{a^2}} = 4a\\BC = 2a \Rightarrow \tan \angle CSB = \dfrac{{BC}}{{SB}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \angle CSB \approx {26^0}34'\end{array}\)

Vậy \(\angle \left( {SC;\left( {SAB} \right)} \right) \approx {26^0}34'\).

c) Gọi \(O = AC \cap BD\). Ta có: \(BD \bot \left( {SAC} \right)\,\,\left( {cmt} \right) \Rightarrow BD \bot SO\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\\left( {SBD} \right) \supset SO \bot BD\\\left( {ABCD} \right) \supset AO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SO;AO} \right) = \angle SOA\).

\(ABCD\) là hình vuông cạnh \(2a \Rightarrow AC = BD = 2a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = a\sqrt 2 \).

Trong tam giác vuông \(SAO\) ta có :

\(SO = \sqrt {S{A^2} + A{O^2}} = \sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt {14} \).

\( \Rightarrow \tan \angle SOA = \dfrac{{SA}}{{AO}} = \dfrac{{a\sqrt {14} }}{{a\sqrt 2 }} = \sqrt 7 \Rightarrow \angle SOA \approx {69^0}18'\).

Vậy \(\angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) \approx {69^0}18'\).

d) Trong \(\left( {SAO} \right)\) kẻ \(AH \bot SO\,\,\left( {H \in SO} \right)\).

Ta có \(BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BD\\AH \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AH\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SOA\) ta có:

\(AH = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 .a\sqrt 2 }}{{\sqrt {12{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt {21} a}}{7}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{{2\sqrt {21} a}}{7}\).

Trong \(\left( SAB \right)\), gọi \(I=AG\cap SB\) ta có: \(AG\cap \left( SBD \right)=I\).

\(\Rightarrow \dfrac{d\left( G;\left( SBD \right) \right)}{d\left( A;\left( SBD \right) \right)}=\dfrac{GI}{AI}=\dfrac{1}{3}\Rightarrow d\left( G;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{1}{3}d\left( A;\left( SBD \right) \right)=\dfrac{2\sqrt{21}a}{21}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.