Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích

Câu hỏi số 336766:

Vận dụng cao

Trong một hộp có chứa các tấm bìa dạng hình chữ nhật có kích thước đôi một khác nhau, các cạnh của hình chữ nhật có kích thước là \(m\)và \(n\) (\(m,n \in \mathbb{N};\,\;1 \le m,\;n \le 20\), đơn vị là cm). Biết rằng mỗi bộ kích thước \((m,n)\) đều có tấm bìa tương ứng. Ta gọi một tấm bìa là “tốt” nếu tấm bìa đó có thể được lắp ghép từ các miếng bìa dạng hình chữ \(L\)gồm \(4\) ô vuông, mỗi ô có độ dài cạnh là \(1cm\)để tạo thành nó (Xem hình vẽ minh họa một tấm bìa “tốt” bên dưới) .

Rút ngẫu nhiên một tấm bìa từ hộp, tính xác suất để tấm bìa vừa rút được là tấm bìa “tốt”.

A. \(\dfrac{{29}}{{95}}\)

B. \(\dfrac{2}{7}\)

C. \(\dfrac{{29}}{{105}}\)

D. \(\dfrac{9}{{35}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:336766

Giải chi tiết

Số hình chữ nhật trong hộp là: Có 20 hình chữ nhật mà \(m = n\) và có \(C_{20}^2\) hình chữ nhật mà \(m\ne n\).

\(\Rightarrow n\left( \Omega \right)=20+C_{20}^{2}=210\).

Gọi A là biến cố: “Rút được tấm bìa tốt”.

Do mỗi miến bìa có hình chữ nhật L, một chiều gồm 2 hình vuông đơn vị, một chiều gồm 3 hình vuông đơn vị và diện tích của mỗi miếng bìa bằng \(4c{{m}^{2}}\) nên hình chữ nhật \(n.m\) là tốt khi và chỉ khi \(m,\,\,n\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}m \ge 3,n \ge 2\\m.n \vdots 8\\m,n \in {\mathbb{N}^*},n \le 20\end{array} \right.\)

Do đó phải có ít nhất một trong hai số \(m,\,\,n\) chia hết cho 4.

Do hình chữ nhật có kích thước \(\left( m;n \right)\) cũng chính là hình chữ nhật có kích thước \(\left( {n;m} \right)\) nên ta chỉ cần xét với kích thước m.

TH1: \(m\in \left\{ 8;16 \right\}\Rightarrow n\in \left\{ 2;3;...;20 \right\}\). Suy ra có \(19+18=37\) tấm bìa “tốt”.

TH2: \(m\in \left\{ 4;12;20 \right\}\). Do \(4 = 4.1,\,\,12 = 4.3,\,\,20 = 4.5 \Rightarrow \) Để \(m.n\,\,\vdots \,\,8\Rightarrow n\) chẵn.

Tập hợp \(\left\{ 2;3;4;10;12;14;18;20 \right\}\) có 8 phần tử.

+) \(m=4\Rightarrow \) Có 8 cách chọn \(n\).

+) \(m = 12 \Rightarrow \) Có \(8 - 1 = 7\) cách chọn \(n\).

+) \(m=20\Rightarrow \) Có \(8-2=6\) cách chọn \(n\).

\(\Rightarrow TH2\) có \(8+7+6=21\) tấm bìa “tốt”.

\(\Rightarrow n\left( A \right)=37+21=58\).

Vậy \(P\left( A \right) = \dfrac{{58}}{{210}} = \dfrac{{29}}{{105}}\).

(Sưu tầm Group Strong Team Toán VD – VDC).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.