Cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{2}.\) Viết phương trình

Câu hỏi số 339713:

Vận dụng

Cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{2}.\) Viết phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) cắt \(d\) tại các điểm \(A,B\) sao cho \(AB = 2\sqrt 3 .\)

A. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 25\)

B. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 4\)

C. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)

D. \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339713

Phương pháp giải

+ Sử dụng khoảng cách từ điểm \(I\) đến đường thẳng \(d\) đi qua \(M\) và có VTCP \(\overrightarrow u \) là \(d = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}}\)

+ Sử dụng định lý Pytago để tính bán kính mặt cầu

+ Mặt cầu tâm \(I\left( {a;b;c} \right)\) và bán kính \(R\) có phương trình \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} + {\left( {z - c} \right)^2} = {R^2}\)

Giải chi tiết

Đường thẳng \(d:\dfrac{{x + 1}}{3} = \dfrac{{y - 2}}{{ - 2}} = \dfrac{{z - 2}}{2}\) đi qua \(M\left( { - 1;2;2} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow u = \left( {3; - 2;2} \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {IM} = \left( { - 2;0;3} \right)\) ; \(\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right] = \left( {6;13;4} \right)\)

Khoảng cách \(h\) từ tâm \(I\) đến đường thẳng \(d\) là \(h = d\left( {I;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IM} ;\overrightarrow u } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \dfrac{{\sqrt {{6^2} + {{13}^2} + {4^2}} }}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}} }} = \sqrt {13} \) .

Gọi \(K\) là trung điểm dây \(AB \Rightarrow IK \bot AB;\,KB = \dfrac{{AB}}{2} = \sqrt 3 \) và \(IK = h = \sqrt {13} \)

Xét tam giác \(IKB\) vuông tại \(K\) có \(IB = \sqrt {K{B^2} + I{K^2}} = \sqrt {13 + 3} = 4\)

Phương trình mặt cầu tâm \(I\left( {1;2; - 1} \right)\) và bán kính \(R = IB = 4\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 16\)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.