Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số \(a\) phải thỏa mãn điều kiện:

Câu 353132: Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số \(a\) phải thỏa mãn điều kiện:

A. \(a \ne \pm \sqrt 3 \)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.\)

C. \(\left| a \right| \ge 4\)

D. \(\left| a \right| \ge 1\)

Câu hỏi : 353132

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức \(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\).

- Quy đồng, bỏ mẫu, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với hàm số \(\cos x\).

Đáp án : B
(53) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{\tan ^2}x \ne 1\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne \pm 1\\2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l} + )\,\,\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{1 - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2 \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}\,\,\left( {Do\,\,{a^2} + 1 > 0\,\,\forall a} \right)\end{array}\)

+) Do \({\cos ^2}x \in \left[ {0;1} \right]\); \(x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \Leftrightarrow \cos x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow {\cos ^2}x \ne \dfrac{1}{2}\) nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \in \left[ {0;1} \right]\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \ge 0\\\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \le 1\\\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 \ge 0\\{a^2} - 1 \le {a^2} + 1\\2{a^2} - 2 \ne {a^2} + 1\end{array} \right.\,\,\left( {do\,\,{a^2} + 1 > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| \ge 1\\2 \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\{a^2} \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| \ge 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Chú ý:
Luôn phải ghi nhớ tìm ĐKXĐ trước khi làm một bài toán.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.