Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có

Câu hỏi số 353132:

Vận dụng

Để phương trình \(\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\) có nghiệm, tham số \(a\) phải thỏa mãn điều kiện:

A. \(a \ne \pm \sqrt 3 \)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| > 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.\)

C. \(\left| a \right| \ge 4\)

D. \(\left| a \right| \ge 1\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353132

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Sử dụng công thức \(\tan x = \dfrac{{\sin x}}{{\cos x}};\,\,\cos 2x = {\cos ^2}x - {\sin ^2}x\).

- Quy đồng, bỏ mẫu, đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với hàm số \(\cos x\).

Giải chi tiết

+) ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}{\tan ^2}x \ne 1\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\tan x \ne \pm 1\\2x \ne \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \pm \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

\(\begin{array}{l} + )\,\,\dfrac{{{a^2}}}{{1 - {{\tan }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{1 - \dfrac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}} \Leftrightarrow \dfrac{{{a^2}{{\cos }^2}x}}{{\cos 2x}} = \dfrac{{{{\sin }^2}x + {a^2} - 2}}{{\cos 2x}}\\ \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = {\sin ^2}x + {a^2} - 2 \Leftrightarrow {a^2}{\cos ^2}x = 1 - {\cos ^2}x + {a^2} - 2\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} + 1} \right){\cos ^2}x = {a^2} - 1 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}}\,\,\left( {Do\,\,{a^2} + 1 > 0\,\,\forall a} \right)\end{array}\)

+) Do \({\cos ^2}x \in \left[ {0;1} \right]\); \(x \ne \dfrac{\pi }{4} + \dfrac{{k\pi }}{2} \Leftrightarrow \cos x \ne \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow {\cos ^2}x \ne \dfrac{1}{2}\) nên phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \in \left[ {0;1} \right]\backslash \left\{ {\dfrac{1}{2}} \right\}\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \ge 0\\\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \le 1\\\dfrac{{{a^2} - 1}}{{{a^2} + 1}} \ne \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} - 1 \ge 0\\{a^2} - 1 \le {a^2} + 1\\2{a^2} - 2 \ne {a^2} + 1\end{array} \right.\,\,\left( {do\,\,{a^2} + 1 > 0} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| \ge 1\\2 \ge 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\{a^2} \ne 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| a \right| \ge 1\\\left| a \right| \ne \sqrt 3 \end{array} \right.\)

Chú ý khi giải

Luôn phải ghi nhớ tìm ĐKXĐ trước khi làm một bài toán.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.