Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} + \dfrac{1}{{1 - \cos x}} + \cot x =

Câu hỏi số 353259:

Vận dụng

Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\dfrac{{\sin x}}{{1 + \cos x}} + \dfrac{1}{{1 - \cos x}} + \cot x = 2\) có dạng \(\dfrac{{\pi a}}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên, \(a < 0\) và \(a,\,\,b\) nguyên tố cùng nhau. Tính \(S = a + b\).

A. \(S = 3\)

B. \(S = 4\)

C. \(S = 5\)

D. \(S = 7\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353259

Phương pháp giải

- Quy đồng, đưa phương trình về dạng tích, sử dụng công thức nhân đôi \(\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right)\).

- Phương trình dạng \(a\sin x + b\cos x = c\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Giải chi tiết

ĐKXĐ:\(\left\{ \matrix{\cos x \ne \pm 1 \hfill \cr \sin x \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\).

\(\eqalign{
& PT \Leftrightarrow {{\sin x\left( {1 - \cos x} \right) + 1 + \cos x} \over {1 - {{\cos }^2}x}} + {{\cos x} \over {\sin x}} = 2 \cr
& \Leftrightarrow {{\sin x - \sin x\cos x + 1 + \cos x + \cos x\sin x} \over {{{\sin }^2}x}} = 2 \cr
& \Leftrightarrow \sin x + \cos x + 1 = 2{\sin ^2}x \cr
& \Leftrightarrow \sin x + \cos x + 1 - 2{\sin ^2}x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \cos 2x = 0 \cr
& \Leftrightarrow \sin x + \cos x + \left( {\cos x - \sin x} \right)\left( {\cos x + \sin x} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {\cos x - \sin x + 1} \right) = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\sin x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right) \hfill \cr
\cos x - \sin x + 1 = 0\,\,\,\left( 2 \right) \hfill \cr} \right. \cr
& \left( 1 \right) \Leftrightarrow \sin x = - \cos x \Leftrightarrow \tan x = - 1 \Leftrightarrow x = - {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\,\,\left( {tm} \right) \cr
& \left( 2 \right) \Leftrightarrow \sin x - \cos x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x - {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr
x - {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 2} + k2\pi \,\,\,\left( {tm} \right) \hfill \cr
x = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {ktm} \right) \hfill \cr} \right. \cr} \)

Xét họ nghiệm \(x = - {\pi \over 4} + k\pi \) ta có:\(\left\{ \matrix{x < 0 \hfill \cr {x_{\max }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{- {\pi \over 4} + k\pi < 0 \hfill \cr {k_{\max }},\,\,k \in Z\hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{k < {1 \over 4} \hfill \cr {k_{\max }},\,\,k \in Z\hfill \cr} \right. \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow \) Họ nghiệm này có nghiệm âm lớn nhất là \(x = - {\pi \over 4}\).

Xét họ nghiệm \(x = {\pi \over 2} + k2\pi \) ta có:\(\left\{ \matrix{x < 0 \hfill \cr {x_{\max }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{\pi \over 2} + k2\pi < 0 \hfill \cr {k_{\max }},\,\,k Z\in \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{k < - {1 \over 4} \hfill \cr {k_{\max }},\,\,k \in Z\hfill \cr} \right. \Leftrightarrow k = - 1 \Rightarrow \) Họ nghiệm này có nghiệm âm lớn nhất là \(x = - {{3\pi } \over 2}\).

Dễ thấy \( - {{3\pi } \over 2} < - {\pi \over 4}\).

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là\(x = - {\pi \over 4} \Rightarrow \left\{ \matrix{a = - 1 \hfill \cr b = 4 \hfill \cr} \right. \Rightarrow S = a + b = 3\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.