Cho phương trình \(\sin x + \cos x\sin 2x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{\sin }^3}x} \right)\). Tổng

Câu hỏi số 353260:

Vận dụng

Cho phương trình \(\sin x + \cos x\sin 2x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{\sin }^3}x} \right)\). Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng:

A. \( - \dfrac{\pi }{7}\)

B. \( - \dfrac{\pi }{{18}}\)

C. \( - \dfrac{\pi }{{20}}\)

D. \(\dfrac{\pi }{7}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353260

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng \(\sin a\cos b = {1 \over 2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\), công thức hạ bậc \({\sin ^3}x = {{3\sin x - \sin 3x} \over 4}\).

- Rút gọn, đưa 1 vế về dạng \(a\sin x + b\cos x\).

- Chia cả 2 vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) sau đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

- Tìm nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của từng họ nghiệm sau đó kết luận.

Giải chi tiết

\(\eqalign{
& PT \Leftrightarrow \sin x + {1 \over 2}\left( {\sin 3x + \sin x} \right) + \sqrt 3 \cos 3x = 2\left( {\cos 4x + {{3\sin x - \sin 3x} \over 4}} \right) \cr
& \Leftrightarrow \sin x + {1 \over 2}\sin 3x + {1 \over 2}\sin x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\cos 4x + {3 \over 2}\sin x - {1 \over 2}\sin 3x \cr
& \Leftrightarrow \sin 3x + \sqrt 3 \cos 3x = 2\cos 4x \Leftrightarrow {1 \over 2}\sin 3x + {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 3x = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow \sin 3x\sin {\pi \over 6} + \cos 3x\cos {\pi \over 6} = \cos 4x \Leftrightarrow cos\left( {3x - {\pi \over 6}} \right) = \cos 4x \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
4x = 3x - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
4x = - 3x + {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
x = {\pi \over {42}} + {{k2\pi } \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Xét họ nghiệm \(x=-\dfrac{\pi }{6}+k2\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\) ta tìm được nghiệm âm lớn nhất là \(x=-\dfrac{\pi }{6}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x=\dfrac{11\pi }{6}\).

Xét họ nghiệm \(x=\dfrac{\pi }{42}+\dfrac{k2\pi }{7}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\) ta tìm được nghiệm âm lớn nhất là \(x=-\dfrac{11\pi }{42}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(x=\dfrac{\pi }{42}\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm âm lớn nhất là \(x=-\dfrac{\pi }{6}\) và nghiệm dương nhỏ nhất là \(\dfrac{\pi }{42}\).

Khi đó tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là \(-\dfrac{\pi }{6}+\dfrac{\pi }{42}=-\dfrac{\pi }{7}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.