Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(C\) có điểm \(A\left( {3; - 1}

Câu hỏi số 354622:

Thông hiểu

Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho \(\Delta ABC\) vuông cân tại \(C\) có điểm \(A\left( {3; - 1} \right)\) và đường thẳng \(d:\,\,x - 2y + 5 = 0.\) Biết \(C \in d,\,\,B \in \Delta :\,\,3x + y - 4 = 0\) và \(d\) là đường trung trực của \(\Delta ABC.\) Khi đó tọa độ đỉnh \(B,\,\,C\) của \(\Delta ABC\) là:

A. \(\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,7} \right)\\C\left( {5;\,\,5} \right)\end{array} \right.\)

B. \(\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 3;\,\,1} \right)\\C\left( { - 1;\,\,7} \right)\end{array} \right.\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 3;\,\,1} \right)\\C\left( { - 1;\,\,7} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,7} \right)\\C\left( {5;\,\,5} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,7} \right)\\C\left( { - 3;\,\,1} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,7} \right)\\C\left( {5;\,\,5} \right)\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:354622

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của tam giác vuông cân và đường trung trực để làm bài toán.

Giải chi tiết

Ta có: \(B \in \Delta :\,\,\,3x + y - 4 = 0 \Rightarrow B\left( {b;\,\,4 - 3b} \right).\)

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow M\left( {\frac{{b + 3}}{2};\,\frac{{\,3 - 3b}}{2}} \right).\)

Lại có: \(M \in d\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{b + 3}}{2} - 3 + 3b + 5 = 0\\ \Leftrightarrow b + 3 - 6 + 6b + 10 = 0\\ \Leftrightarrow b = - 1\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 1;\,\,7} \right)\\M\left( {1;\,\,3} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Ta có: \(C \in d \Rightarrow C\left( {2c - 5;\,\,c} \right).\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {CA} = \left( {8 - 2c;\,\, - 1 - c} \right)\\\overrightarrow {CB} = \left( {4 - 2c;\,\,7 - c} \right)\end{array} \right.\)

Vì \(\Delta ABC\) vuông cân tại\(C \Rightarrow \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CB} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {8 - 2c} \right)\left( {4 - 2c} \right) - \left( {1 + c} \right)\left( {7 - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 32 - 16c - 8c + 4{c^2} - 7 + c - 7c + {c^2} = 0\\ \Leftrightarrow 5{c^2} - 30c + 25 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1 \Rightarrow C\left( { - 3;\,\,1} \right)\\c = 5 \Rightarrow C\left( {5;\,\,5} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn D.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.