Phương trình \(2{\cos ^2}x + 2{\cos ^2}2x + 2{\cos ^2}3x - 3\) \( = \cos 4x\left( {2\sin 2x + 1} \right)\) có bao

Câu hỏi số 356376:

Vận dụng

Phương trình \(2{\cos ^2}x + 2{\cos ^2}2x + 2{\cos ^2}3x - 3\) \( = \cos 4x\left( {2\sin 2x + 1} \right)\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2018} \right)\)?

A. 2566

B. 2567

C. 2568

D. 2569

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356376

Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}x = \dfrac{{1 + \cos 2x}}{2}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,2{\cos ^2}x + 2{\cos ^2}2x + 2{\cos ^2}3x - 3 = \cos 4x\left( {2\sin 2x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {1 + \cos 2x} \right) + \left( {1 + \cos 4x} \right) + \left( {1 + \cos 6x} \right) - 3 = 2\cos 4x\sin 2x + \cos 4x\\ \Leftrightarrow \cos 6x + \cos 2x = 2\cos 4x\sin 2x \Leftrightarrow 2\cos 4x\cos 2x = 2\cos 4x\sin 2x\\ \Leftrightarrow 2\cos 4x\left( {\cos 2x - \sin 2x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 4x = 0\\\cos 2x = \sin 2x\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\\tan 2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\2x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\\x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vì \(x \in \left( {0;2018} \right) \Rightarrow 0 < \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4} < 2018\)

\( \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \left( {2018 - \dfrac{\pi }{8}} \right)\dfrac{4}{\pi } \Leftrightarrow - 0,5 < k < 2568,9\).

\( \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;...;2568} \right\}\). Vậy có 2569 nghiệm.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.