Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\) có dạng

Câu hỏi số 356379:

Vận dụng cao

Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = \dfrac{1}{2}\) có dạng \(\dfrac{{\pi a}}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau. Tính \(S = a + b\).

A. \(S = 7\)

B. \(S = 8\)

C. \(S = 15\)

D. \(S = 17\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356379

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cos 3x\left( {2\cos 2x + 1} \right) = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow 4\cos 3x\cos 2x + 2\cos 3x = 1\\ \Leftrightarrow 2\left( {\cos 5x + \cos x} \right) + 2\cos 3x = 1\\ \Leftrightarrow 2\cos x + 2\cos 3x + 2\cos 5x = 1\end{array}\)

Nhận thấy \(\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Nhân cả hai vế cho \(\sin x\) ta được:

\(\begin{array}{l}2\sin x\cos x + 2\sin x\cos 3x + 2\sin x\cos 5x = \sin x\\ \Leftrightarrow \sin 2x + \left( {\sin 4x - \sin 2x} \right) + \left( {\sin 6x - \sin 4x} \right) = \sin x\\ \Leftrightarrow \sin 6x = \sin x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}6x = x + k2\pi \\6x = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{5}\\x = \dfrac{\pi }{7} + \dfrac{{k2\pi }}{7}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Vậy nghiệm dương nhỏ nhất là \(\dfrac{\pi }{7} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 7\end{array} \right. \Rightarrow S = 8\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.