Phương trình \({\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x\) có nghiệm là:

Câu hỏi số 357692:

Vận dụng

A. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{4} + k\pi \\x = k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

B. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

C. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3\pi }}{4} + k\pi \\x = \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

D. \(\left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{3\pi }}{2} + k\pi \\x = \left( {2k + 1} \right)\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:357692

Phương pháp giải

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\,\left( {t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} \right)\). Khi đó ta có \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^3}x + {\cos ^3}x = 1 - \dfrac{1}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) = 1 - \sin x\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 + \sin x\cos x} \right) = 1 - \sin x\cos x\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x = \sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) \Rightarrow t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\).

Khi đó ta có \({t^2} = 1 + 2\sin x\cos x \Leftrightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Phương trình trở thành :

\(\begin{array}{l}t\left( {1 + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = 1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\\ \Leftrightarrow t\left( {{t^2} + 1} \right) = 2 - {t^2} + 1\\ \Leftrightarrow {t^3} + {t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có

\(\begin{array}{l}\sqrt 2 \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.