Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC = a\sqrt 6

Câu hỏi số 370819:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC = a\sqrt 6 \). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

\(V = 3{a^3}\sqrt 3 \)

B. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

D. \(V = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:370819

Phương pháp giải

+ Gọi chiều cao của hình lăng trụ là \(h\).

+ Đặt hệ trục tọa độ sao cho \(O \equiv A\). Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,B'\).

+ Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\), từ đó tìm \(h\).

+ Tính thể tích khối lăng trụ.

Giải chi tiết

Gọi chiều cao của hình lăng trụ là \(h\).

Đặt hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ. Khi đó \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {a\sqrt 3 ;0;0} \right),\,\,C\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right),\,\,B'\left( {a\sqrt 3 ;0;h} \right)\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow M\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).

Vì \(AM \bot \left( {BCC'B'} \right)\) và \(\overrightarrow {AM} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {BCC'B'} \right)\).

Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AB'} } \right] = \left( {ah\sqrt 3 ;0; - 3{a^2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {h;0; - \sqrt 3 a} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {AB'C} \right)\).

Theo giả thiết góc giữa \(\left( {AB'C} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \({60^0}\).

\( \Rightarrow \cos {60^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| h \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {{h^2} + 3{a^2}} }} \Rightarrow h = \sqrt 3 a\).

Vậy thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn D

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.