Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC = a\sqrt 6
Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(A\), cạnh \(BC = a\sqrt 6 \). Góc giữa mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \({60^0}\). Tính thể tích \(V\) của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
+ Gọi chiều cao của hình lăng trụ là \(h\).
+ Đặt hệ trục tọa độ sao cho \(O \equiv A\). Xác định tọa độ các điểm \(A,\,\,B,\,\,C,\,\,B'\).
+ Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'C} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\), từ đó tìm \(h\).
+ Tính thể tích khối lăng trụ.
Gọi chiều cao của hình lăng trụ là \(h\).
Đặt hệ trục tọa độ \(Axyz\) như hình vẽ. Khi đó \(A\left( {0;0;0} \right),\,\,B\left( {a\sqrt 3 ;0;0} \right),\,\,C\left( {0;a\sqrt 3 ;0} \right),\,\,B'\left( {a\sqrt 3 ;0;h} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow M\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\).
Vì \(AM \bot \left( {BCC'B'} \right)\) và \(\overrightarrow {AM} = \left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2};0} \right)\) nên \(\overrightarrow n = \left( {1;1;0} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {BCC'B'} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {AC} ;\overrightarrow {AB'} } \right] = \left( {ah\sqrt 3 ;0; - 3{a^2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_1}} = \left( {h;0; - \sqrt 3 a} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( {AB'C} \right)\).
Theo giả thiết góc giữa \(\left( {AB'C} \right)\) và \(\left( {BCC'B'} \right)\) bằng \({60^0}\).
\( \Rightarrow \cos {60^0} = \left| {\cos \left( {\overrightarrow n ;\overrightarrow {{n_1}} } \right)} \right| \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| h \right|}}{{\sqrt 2 \sqrt {{h^2} + 3{a^2}} }} \Rightarrow h = \sqrt 3 a\).
Vậy thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là \(V = \dfrac{{3{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).
Chọn D
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
