Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = x +

Câu hỏi số 376320:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\) và đường thẳng \(d:y = x + m\). Khi đường thẳng \(d\) cắt đồ thị \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến với \(\left( C \right)\) tại hai điểm này song song thì giá trị \(m\) thuộc khoảng nào dưới đây?

A. \(\left( { - \,4; - \,2} \right)\)

B. \(\left( {0;2} \right)\)

C. \(\left( { - \,2;0} \right)\)

D. \(\left( {2;4} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376320

Phương pháp giải

Vì tiếp tuyến song song nên hệ số góc bằng nhau \(\left( {{k_{{x_1}}} = {k_{{x_2}}}} \right)\)

Dựa vào phương trình hoành độ giao điểm, áp dụng hệ thức Vi – et để tìm tham số

Giải chi tiết

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là \(\frac{{x + 1}}{{x - 2}} = x + m \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x + 1 = \left( {x + m} \right)\left( {x - 2} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x + 1 = {x^2} - 2x + mx - 2m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\\underbrace {{x^2} + \left( {m - 3} \right)x - 2m - 1 = 0}_{f\left( x \right)}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để \(\left( C \right)\) cắt \(d\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) \ne 0\\{\Delta _{\left( * \right)}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \,\,{m^2} + 2m + 13 > 0;\,\,\forall m \in \mathbb{R}\)

Khi đó gọi \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(\left( d \right)\)

Ta có \({k_A} = y'\left( {{x_1}} \right) = - \frac{3}{{{{\left( {{x_1} - 2} \right)}^2}}},\,\,{k_B} = y'\left( {{x_2}} \right) = - \frac{3}{{{{\left( {{x_2} - 2} \right)}^2}}}\)

Vì tiếp tuyến tại hai điểm \(A\) và \(B\) song song \( \Rightarrow \)\({k_A} = {k_B}\)

\( \Leftrightarrow \left| {{x_1} - 2} \right| = \left| {{x_2} - 2} \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} - 2 = {x_2} - 2\\{x_1} - 2 = - \,{x_2} + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 4\)

Theo hệ thức Vi-et, ta có \({x_1} + {x_2} = 3 - m\) suy ra \(3 - m = 4 \Leftrightarrow m = - \,1\)

Chọn C.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.