Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang có \(AD//BC,AB = BC = a\), \(\widehat {BAD} =

Câu hỏi số 376347:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang có \(AD//BC,AB = BC = a\),

\(\widehat {BAD} = {60^0}\).

a) Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\). Lấy điểm \(N\) nằm trên cạnh \(SA\) sao cho \(SN = 2NA\). Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right).\)

b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(G\) và song song với hai đường thẳng \(AB,\,CD\). Tính chu vi thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376347

Phương pháp giải

a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \cap \left( P \right) = M\).

b) Xác định mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).

Sử dụng định lí Cosin trong tam giác và định lí Ta-lét tính độ dài các cạnh của thiết diện, từ đó tính chu vi thiết diện.

Giải chi tiết

a) Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) gọi: \(MN \cap AD = H.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow H \in \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H = MN \cap \left( {ABCD} \right)\).

b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) qua \(G\) kẻ đường thẳng \(NJ\parallel AB\,\,\left( {N \in SA,\,\,J \in SB} \right)\), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = NJ\).

Trong \(\left( {SBC} \right)\) qua \(J\) kẻ \(JK\parallel BC\,\,\left( {K \in SC} \right)\), CMTT ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = JK\).

Trong \(\left( {SAD} \right)\) qua \(N\) kẻ \(NP\parallel AD\,\,\left( {P \in SD} \right)\), ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\) và \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PK\).

Do đó thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác \(NJKP\).

Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(BA\) cắt \(AD\) tại \(E\).

Dễ dàng chứng minh được \(ABCE\) là hình bình hành \( \Rightarrow AE = BC = a \Rightarrow ED = AB - AE = 2a\).

Lại có \(\widehat {BAD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {CED} = {60^0}\) (Đồng vị).

Xét tam giác \(CED\,\)áp dụng định lý Cosin ta có:

\(\begin{array}{l}C{D^2} = C{E^2} + D{E^2} - 2.CE.DE.cos\left( {\widehat {CED}} \right)\\ \Rightarrow C{D^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2 \times a \times 2a \times \cos \left( {{{60}^0}} \right)\\ \Rightarrow C{D^2} = 3{a^2} \Rightarrow CD = a\sqrt 3 .\end{array}\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}SN = 2NA \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}.\\AB\parallel NJ,\,\,BC\parallel JK,\,\,CD\parallel KP,\,\,DA\parallel PN\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow NJ = \dfrac{2}{3}.AB = \dfrac{2}{3}a\\\,\,\,\,\,\,\,JK = \dfrac{2}{3}.BC = \dfrac{2}{3}a\\\,\,\,\,\,\,\,\,NP = \dfrac{2}{3}.AD = 2a\\\,\,\,\,\,\,\,\,KP = \dfrac{2}{3}.CD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a.\end{array}\)

Chu vi thiết diện \(NJKP\) bằng: \(NJ + JK + NP + KP = \dfrac{2}{3}a + \dfrac{2}{3}a + 2a + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a = \dfrac{{10 + 2\sqrt 3 }}{3}a.\)

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.