Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang có \(AD//BC,AB = BC = a\), \(\widehat {BAD} =
Cho hình chóp \(S.ABCD\), đáy \(ABCD\) là hình thang có \(AD//BC,AB = BC = a\),
\(\widehat {BAD} = {60^0}\).
a) Gọi \(M\) là trung điểm \(SD\). Lấy điểm \(N\) nằm trên cạnh \(SA\) sao cho \(SN = 2NA\). Tìm giao điểm \(H\) của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right).\)
b) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(SAB\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(G\) và song song với hai đường thẳng \(AB,\,CD\). Tính chu vi thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Quảng cáo
a) \(\left\{ \begin{array}{l}a \cap b = M\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a \cap \left( P \right) = M\).
b) Xác định mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Sử dụng định lí Cosin trong tam giác và định lí Ta-lét tính độ dài các cạnh của thiết diện, từ đó tính chu vi thiết diện.
a) Trong mặt phẳng \(\left( {SAD} \right)\) gọi: \(MN \cap AD = H.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MN\\H \in AD \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow H \in \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow H = MN \cap \left( {ABCD} \right)\).
b) Trong \(\left( {SAB} \right)\) qua \(G\) kẻ đường thẳng \(NJ\parallel AB\,\,\left( {N \in SA,\,\,J \in SB} \right)\), ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}G \in \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right)\\\left( \alpha \right)\parallel AB \subset \left( {SAB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \alpha \right) \cap \left( {SAB} \right) = NJ\).
Trong \(\left( {SBC} \right)\) qua \(J\) kẻ \(JK\parallel BC\,\,\left( {K \in SC} \right)\), CMTT ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = JK\).
Trong \(\left( {SAD} \right)\) qua \(N\) kẻ \(NP\parallel AD\,\,\left( {P \in SD} \right)\), ta có \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SAD} \right) = NP\) và \(\left( \alpha \right) \cap \left( {SBC} \right) = PK\).
Do đó thiết diện của chóp cắt bởi \(\left( \alpha \right)\) là tứ giác \(NJKP\).
Qua \(C\) kẻ đường thẳng song song với \(BA\) cắt \(AD\) tại \(E\).
Dễ dàng chứng minh được \(ABCE\) là hình bình hành \( \Rightarrow AE = BC = a \Rightarrow ED = AB - AE = 2a\).
Lại có \(\widehat {BAD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {CED} = {60^0}\) (Đồng vị).
Xét tam giác \(CED\,\)áp dụng định lý Cosin ta có:
\(\begin{array}{l}C{D^2} = C{E^2} + D{E^2} - 2.CE.DE.cos\left( {\widehat {CED}} \right)\\ \Rightarrow C{D^2} = {a^2} + {\left( {2a} \right)^2} - 2 \times a \times 2a \times \cos \left( {{{60}^0}} \right)\\ \Rightarrow C{D^2} = 3{a^2} \Rightarrow CD = a\sqrt 3 .\end{array}\)
Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l}SN = 2NA \Rightarrow \dfrac{{SN}}{{SA}} = \dfrac{2}{3}.\\AB\parallel NJ,\,\,BC\parallel JK,\,\,CD\parallel KP,\,\,DA\parallel PN\end{array} \right.\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow NJ = \dfrac{2}{3}.AB = \dfrac{2}{3}a\\\,\,\,\,\,\,\,JK = \dfrac{2}{3}.BC = \dfrac{2}{3}a\\\,\,\,\,\,\,\,\,NP = \dfrac{2}{3}.AD = 2a\\\,\,\,\,\,\,\,\,KP = \dfrac{2}{3}.CD = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a.\end{array}\)
Chu vi thiết diện \(NJKP\) bằng: \(NJ + JK + NP + KP = \dfrac{2}{3}a + \dfrac{2}{3}a + 2a + \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}a = \dfrac{{10 + 2\sqrt 3 }}{3}a.\)
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
