Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập \(A = \left\{

Câu hỏi số 376375:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số đôi một khác nhau được thành lập từ tập \(A = \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\) sao cho số đó chia hết cho 1111?

A. 384.

B. 345.

C. 3840.

D. 1920.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:376375

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất chia hết và phương pháp chặn.

Giải chi tiết

Đặt \(m = \overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \,\,\left( {{a_i} \in A,\,\,{a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} } \right)\).

Do \({a_i} \in A,\) các \({a_i} \ne {a_j}\,\,\forall i;j = \overline {1;8} \) nên \(\sum\limits_{i = 1}^8 {{a_i}} = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36\).

Do đó \(m\,\, \vdots \,\,9\). Mà \(m\,\, \vdots \,\,1111\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow m\,\, \vdots \,\,9999.\)

Đặt \(p = \overline {{a_1}{a_2}{a_3}{a_4}} ;\,\,\,q = \overline {{a_5}{a_6}{a_7}{a_8}} \) ta có:

\(\begin{array}{l}m = p{.10^4} + q = 9999.p + \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow \left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999\\Do\,\,0 < p,\,\,q < 9999 \Rightarrow 0 < p + q < 2.9999\end{array}\)

Mà \(\left( {p + q} \right)\,\,\, \vdots \,\,\,9999 \Rightarrow p + q = 9999 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1} + {a_5} = 9\\{a_2} + {a_6} = 9\\{a_3} + {a_7} = 9\\{a_4} + {a_8} = 9\end{array} \right.\).

Có 4 cặp có tổng bằng 9 là \(\left( {1;8} \right);\,\,\left( {2;7} \right);\,\,\left( {3;6} \right);\,\,\left( {4;5} \right)\).

Suy ra có 8 cách chọn \({a_1}\), ứng với mỗi cách chọn \({a_1}\) có 1 cách chọn \({a_5}\).

6 cách chọn \({a_2}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\, \ne {a_5}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_2}\) có 1 cách chọn \({a_6}\).

4 cách chọn \({a_3}\,\,\left( { \ne {a_1},\,\,{a_2},\,\,{a_5},\,\,{a_6}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_3}\) có 1 cách chọn \({a_7}\).

2 cách chọn \({a_4}\,\,\left( { \ne {a_1};\,\,{a_2};\,\,{a_3};\,\,{a_5};\,\,{a_6};\,\,{a_7}} \right)\), ứng với mỗi cách chọn \({a_4}\) có 1 cách chọn \({a_8}\).

Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả \(8.6.4.2 = 384\) số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.