Cho hình chóp \(S.ABCD,\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung

Câu hỏi số 380513:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD,\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O.\) Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(SC\) và \(SD.\)

1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\)

2) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {OMN} \right).\) Thiết diện là hình gì, tại sao ?

3) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(CD,\,\,G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB.\) Tìm giao điểm \(K\) của \(IG\) và \(\left( {OMN} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{IK}}{{IG}}.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:380513

Phương pháp giải

a) - Sử dụng định lý: \(\left\{ \begin{array}{l}a \subset \left( P \right)\\b \subset \left( Q \right)\\a//b\\\left( P \right) \cap \left( Q \right) = d\end{array} \right. \Rightarrow d//a//b\).

- Sử dụng định lý: \(\left\{ \begin{array}{l}a \not\subset \left( P \right)\\a//b\\b \subset \left( P \right)\end{array} \right. \Rightarrow a//\left( P \right)\).

b) Sử dụng định lý giao tuyến ba mặt phẳng: Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến, nếu chúng không đồng quy thì song song.

c) Phương pháp xác định giao điểm của đường thẳng \(a\) với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\):

- Tìm mặt phẳng phụ \(\left( P \right)\) chứa \(a\).

- Tìm giao tuyến \(d = \left( P \right) \cap \left( \alpha \right)\).

- Tìm giao điểm của \(d\) với \(a\).

Sử dụng định lý Ta – let để tính tỉ số \(\frac{{IK}}{{IG}}\).

Giải chi tiết

1) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right).\) Chứng minh rằng đường thẳng \(MN\) song song với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right).\)

+) Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \subset \left( {SAB} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\\AB//CD\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SCD} \right) = Sx\end{array} \right.\) \( \Rightarrow Sx//AB//CD\)

Do đó giao tuyến của \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) là đường thẳng \(Sx\) đi qua \(S\) và song song với \(AB,CD\).

+) Dễ thấy \(MN \not\subset \left( {SAB} \right)\).

Trong tam giác \(SCD\) có \(M,N\) là trung điểm \(SC,SD\) nên \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\).

Khi đó \(MN//CD\), mà \(CD//AB\) nên \(MN//AB\).

Mà \(AB \subset \left( {SAB} \right)\) nên \(MN//\left( {SAB} \right)\) (đpcm).

2) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {OMN} \right).\) Thiết diện là hình gì, tại sao ?

Xét ba mặt phẳng \(\left( {OMN} \right),\left( {SCD} \right),\left( {ABCD} \right)\) có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ot\\MN//CD\end{array} \right.\) \( \Rightarrow MN//CD//Ot\).

Do đó \(\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = Ot\) là đường thẳng đi qua \(O\) và song song với \(CD\).

Kẻ đường thẳng qua \(O\) và song song \(CD\) cắt \(AD,BC\) lần lượt tại \(E,F\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {OMN} \right) \cap \left( {SCD} \right) = MN\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {SAD} \right) = NE\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = EF\\\left( {OMN} \right) \cap \left( {SBC} \right) = MF\end{array} \right.\)

Vậy thiết diện là tứ giác \(MNEF\).

Ngoài ra \(MN//CD,EF//CD\) \( \Rightarrow MN//EF\).

Vậy thiết diện là hình thang.

3) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(CD,\,\,G\) là trọng tâm của tam giác \(SAB.\) Tìm giao điểm \(K\) của \(IG\) và \(\left( {OMN} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{IK}}{{IG}}.\)

*) Tìm giao điểm của \(IG\) với \(\left( {OMN} \right)\).

+) Gọi \(P\) là trung điểm của \(AB\). Dễ thấy \(IG \subset \left( {SIP} \right)\).

+) Ta tìm giao tuyến của \(\left( {SIP} \right)\) với \(\left( {OMN} \right)\).

Vì \(I,P\) là trung điểm của \(CD,AB\) nên \(O \in IP \subset \left( {SIP} \right)\).

Mà \(O \in \left( {OMN} \right) \Rightarrow O \in \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\) (1)

Trong \(\left( {SCD} \right)\), gọi \(H = SI \cap MN\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}H \in SI \subset \left( {SIP} \right)\\H \in MN \subset \left( {OMN} \right)\end{array} \right.\) \( \Rightarrow H \in \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(OH = \left( {SIP} \right) \cap \left( {OMN} \right)\).

+) Trong \(\left( {SIP} \right)\), gọi \(K = OH \cap IG\).

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}K \in OH \subset \left( {OMN} \right)\\K \in IG\end{array} \right.\) \( \Rightarrow K = IG \cap \left( {OMN} \right)\).

*) Tính \(\frac{{IK}}{{IG}}\).

Trong \(\Delta SCI\) có \(M\) là trung điểm \(SC\) và \(MH//CI\) nên \(H\) là trung điểm của \(SI\).

Trong \(\Delta SIP\) có \(\frac{{SH}}{{SI}} = \frac{1}{2}\) và \(\frac{{PO}}{{PI}} = \frac{1}{2}\) nên \(\frac{{SH}}{{SI}} = \frac{{PO}}{{PI}} = \frac{1}{2}\).

Theo định lý Ta – let ta có \(OH//SP\) hay \(OK//PG\).

Trong \(\Delta IPG\) có \(O\) là trung điểm \(IP\) và \(OK//PG\) nên \(K\) là trung điểm \(IO\).

Vậy \(\frac{{IK}}{{IG}} = \frac{1}{2}\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.