Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(P,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Trên các cạnh
Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(P,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Trên các cạnh \(AC,\,\,BD\) ta lần lượt lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{BN}}{{BD}} = k\,\,\left( {k > 0} \right)\). Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\,\,\overrightarrow {PM} ,\,\,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.
Quảng cáo
- Chứng minh tồn tại các số thực \(m,\,\,n\) không đồng thời bằng 0 sao cho \(\overrightarrow {PQ} = m\overrightarrow {PM} + n\overrightarrow {PN} \).
- Sử dụng công thức trung điểm: Cho \(I\) là trung điểm của \(AB\). Với mọi điểm \(M\) ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).
- Sử dụng quy tắc cộng vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {ND} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BD} } \right)\end{array}\)
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BQ} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BP} + 2\overrightarrow {PQ} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {PQ} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {PQ} \\2\overrightarrow {PQ} = \left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + 2\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {PQ} \\2k\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} \\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{{2k}}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right)\end{array}\)
Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\,\,\overrightarrow {PM} ,\,\,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.
Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
