Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(P,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Trên các cạnh

Câu hỏi số 390280:

Vận dụng

Cho tứ diện \(ABCD\). Gọi \(P,\,\,Q\) theo thứ tự là trung điểm của \(AB,\,\,CD\). Trên các cạnh \(AC,\,\,BD\) ta lần lượt lấy các điểm \(M,\,\,N\) sao cho \(\dfrac{{AM}}{{AC}} = \dfrac{{BN}}{{BD}} = k\,\,\left( {k > 0} \right)\). Chứng minh rằng ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\,\,\overrightarrow {PM} ,\,\,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:390280

Phương pháp giải

- Chứng minh tồn tại các số thực \(m,\,\,n\) không đồng thời bằng 0 sao cho \(\overrightarrow {PQ} = m\overrightarrow {PM} + n\overrightarrow {PN} \).

- Sử dụng công thức trung điểm: Cho \(I\) là trung điểm của \(AB\). Với mọi điểm \(M\) ta có: \(\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = 2\overrightarrow {MI} \).

- Sử dụng quy tắc cộng vectơ \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PC} + \overrightarrow {PD} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {PN} + \overrightarrow {ND} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {AC} + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {BD} } \right)\end{array}\)

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BQ} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BP} + 2\overrightarrow {PQ} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \dfrac{1}{2}\left( {1 - k} \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} + 2\overrightarrow {PQ} } \right)\\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{2}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + \left( {1 - k} \right)\overrightarrow {PQ} \\2\overrightarrow {PQ} = \left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right) + 2\left( {1 - k} \right)\overrightarrow {PQ} \\2k\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} \\\overrightarrow {PQ} = \dfrac{1}{{2k}}\left( {\overrightarrow {PM} + \overrightarrow {PN} } \right)\end{array}\)

Vậy ba vectơ \(\overrightarrow {PQ} ,\,\,\overrightarrow {PM} ,\,\,\overrightarrow {PN} \) đồng phẳng.

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.