Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a\), \(AC = BD = b\), \(AD = BC = c\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\).

Câu 391351: Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB = CD = a\), \(AC = BD = b\), \(AD = BC = c\). Tính góc giữa hai đường thẳng \(AC\) và \(BD\).

A. \(\angle \left( {AC;BD} \right) = \arccos \left| {\dfrac{{{a^2} - {c^2}}}{{{b^2}}}} \right|\)

B. \(\angle \left( {AC;BD} \right) = \arccos \left| {\dfrac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}}{{{b^2}}}} \right|\)

C. \(\angle \left( {AC;BD} \right) = \arccos \left| {\dfrac{{2\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}}{{3{b^2}}}} \right|\)

D. \(\angle \left( {AC;BD} \right) = \arccos \left| {\dfrac{{2\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}}{{{b^2}}}} \right|\)

Câu hỏi : 391351

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\).

- Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác: \(\cos A = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

Đáp án : A
(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của \(AB,\,\,CD,\,\,AD\).

Ta có: \(PM,\,\,PN\) lần lượt là các đường trung bình của tam giác \(ABD\) và \(ACD\) nên \(MP\parallel BD\) và \(PN\parallel AC\).

\( \Rightarrow \angle \left( {AC;BD} \right) = \angle \left( {PN;PM} \right)\).

Áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có:

\(\begin{array}{l}C{M^2} = \dfrac{{C{A^2} + C{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\D{M^2} = \dfrac{{D{A^2} + D{B^2}}}{2} - \dfrac{{A{B^2}}}{4} = \dfrac{{2\left( {{c^2} + {b^2}} \right) - {a^2}}}{4}\\M{N^2} = \dfrac{{M{C^2} + M{D^2}}}{2} - \dfrac{{C{D^2}}}{4} = \dfrac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}\end{array}\)

Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \(PMN\) ta có:

\(\begin{array}{l}\cos \angle MPN = \dfrac{{P{M^2} + P{N^2} - M{N^2}}}{{2PM.PN}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {\dfrac{b}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{b}{2}} \right)}^2} - \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2}}}{{2\dfrac{b}{2}.\dfrac{b}{2}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}}{{{b^2}}}\end{array}\)

Vậy \(\angle \left( {AC;BD} \right) = \arccos \left| {\dfrac{{\left( {{a^2} - {c^2}} \right)}}{{{b^2}}}} \right|\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.