Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Trên các cạnh \(DC\) và \(BB'\) lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(MD = NB = x\,\,\,\left( {0 \le x \le a} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 391352: Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) cạnh \(a\). Trên các cạnh \(DC\) và \(BB'\) lấy các điểm \(M\) và \(N\) sao cho \(MD = NB = x\,\,\,\left( {0 \le x \le a} \right)\). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \(AC' \bot MN\)
B. \(AC'\) và \(MN\) cắt nhau
C. \(AC'\) và \(MN\) đồng phẳng
D. Cả A, B, C đều đúng.
Quảng cáo
- Tính tích vô hướng \(\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} \).
- Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \). Phân tích \(\overrightarrow {AC'} \) và \(\overrightarrow {MN} \) theo \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow c \).
-
Đáp án : A(1) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow {AB} = \overrightarrow b ,\,\,\overrightarrow {AD} = \overrightarrow c \).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right) - \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DM} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow b + \dfrac{x}{a}.\overrightarrow a } \right) - \left( {\overrightarrow c + \dfrac{x}{a}\overrightarrow b } \right) = \dfrac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {1 - \dfrac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c \end{array}\)
Từ đó ta có:
\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {MN} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)\left[ {\dfrac{x}{a}\overrightarrow a + \left( {1 - \dfrac{x}{a}} \right)\overrightarrow b - \overrightarrow c } \right]\\ = \dfrac{x}{a}{\overrightarrow a ^2} + \left( {1 - \dfrac{x}{a}} \right){\overrightarrow b ^2} - {\overrightarrow c ^2}\,\,\,\left( {Do\,\,\overrightarrow a \overrightarrow b = 0;\,\,\overrightarrow a \overrightarrow c = 0;\,\,\overrightarrow b \overrightarrow c = 0} \right)\\ = \dfrac{x}{a}.{a^2} + \left( {1 - \dfrac{x}{a}} \right).{a^2} - {a^2}\\ = x.a + {a^2} - x.a - {a^2}\\ = 0\end{array}\)
Vậy \(AC' \bot MN\).
Chọn A.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com