Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8} - x - 2}}{{{x^2} -

Câu hỏi số 395887:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8} - x - 2}}{{{x^2} - 4}}\,\,\,khi\,\,x < 2}\\{\,\,\,\dfrac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 3x + 2}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x > 2}\end{array}} \right.\). Tìm\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) nếu có.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 0\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) không tồn tại.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) không tồn tại.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 1\).

D. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = 0\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:395887

Phương pháp giải

Giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) tồn tại khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{{x^2} - 3x + 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \dfrac{1}{{x - 1}}\dfrac{{\sin \left( {x - 2} \right)}}{{x - 2}} = \dfrac{1}{{2 - 1}}.1 = 1\\\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8} - x - 2}}{{{x^2} - 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8} - 4 - x + 2}}{{{x^2} - 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{\sqrt {2{x^2} + 8} - 4}}{{{x^2} - 4}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{{x^2} - 4}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2{x^2} + 8 - 16}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 8} + 4} \right)}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{1}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{{2{x^2} - 8}}{{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {\sqrt {2{x^2} + 8} + 4} \right)}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{1}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{2}{{\sqrt {2{x^2} + 8} + 4}} - \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \dfrac{1}{{x + 2}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{2}{{\sqrt {{{2.2}^2} + 8} + 4}} - \dfrac{1}{{2 + 2}} = 0\end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).

Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = 1,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = 0\) và không tồn tại giới hạn \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.