Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 2 - Ngày 27-28/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán11

Tìm các giới hạn sau:

Tìm các giới hạn sau:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4, 5 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}a}}{{{x^2} - {a^2}}}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:396014
Phương pháp giải

Sử dụng công thức hạ bậc: \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\), sau đó sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a - \cos b =  - 2\sin \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{{{\sin }^2}x - {{\sin }^2}a}}{{{x^2} - {a^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\frac{{1 - \cos 2x}}{2} - \frac{{1 - \cos 2a}}{2}}}{{{x^2} - {a^2}}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\cos 2a - \cos 2x}}{{2\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{ - 2\sin \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{2\left( {{x^2} - {a^2}} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin \left( {a + x} \right)\sin \left( {a - x} \right)}}{{\left( {a + x} \right)\left( {a - x} \right)}} = \frac{{\sin 2a}}{{2a}}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\cos }^3}x}}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:396015
Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(1 + \cos x = 2{\cos ^2}\frac{x}{2}\), \(\sin x = 2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\).

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\sin 2x}}{{1 + {{\cos }^3}x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\sin 2x}}{{\left( {1 + \cos x} \right)\left( {1 - \cos x + {{\cos }^2}x} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{\sin 2x}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\frac{1}{{1 - \cos x + {{\cos }^2}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2\sin x\cos x}}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\frac{1}{{1 - \cos x + {{\cos }^2}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\cos x}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}}\frac{1}{{1 - \cos x + {{\cos }^2}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to \pi } \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos x}}{{\cos \frac{x}{2}}}\frac{1}{{1 - \cos x + {{\cos }^2}x}}\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi ^ + }} \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos x}}{{\cos \frac{x}{2}}}\frac{1}{{1 - \cos x + {{\cos }^2}x}} = + \infty \\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {\pi ^ - }} \frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos x}}{{\cos \frac{x}{2}}}\frac{1}{{1 - \cos x + {{\cos }^2}x}} = - \infty
\end{array}\)

Vậy giới hạn đã cho không tồn tại.

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{\cos x - \cos b}}{{x - b}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:396016
Phương pháp giải

Sử dụng công thức nhân đôi \(\cos x = 1 - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}\), sau đó sử dụng công thức \(\sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\).

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{\cos x - \cos b}}{{x - b}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{1 - 2{{\sin }^2}\frac{x}{2} - 1 + 2{{\sin }^2}\frac{b}{2}}}{{x - b}}\)

\(\begin{array}{l} = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{\left( {\sin \frac{b}{2} - \sin \frac{x}{2}} \right)\left( {\sin \frac{b}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)}}{{x - b}}\\ = 2\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \frac{{2\cos \frac{{b + x}}{4}\sin \frac{{b - x}}{4}\left( {\sin \frac{b}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right)}}{{x - b}}\\ = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to b} \left[ {\cos \frac{{b + x}}{4}\left( {\sin \frac{b}{2} + \sin \frac{x}{2}} \right).\frac{{\sin \frac{{b - x}}{4}}}{{\frac{{b - x}}{4}}}.\frac{{ - 1}}{4}} \right]\\ =  - 2\cos \frac{b}{2}\sin \frac{b}{2} =  - \sin b\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 4:
Vận dụng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sqrt 2  - 2\cos x}}{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:396017
Phương pháp giải

Đặt \(t = x - \frac{\pi }{4}\), sử dụng công thức \(\cos \left( {a + b} \right) = \cos a\cos b - \sin a\sin b\).

Giải chi tiết

\(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{4}} \frac{{\sqrt 2  - 2\cos x}}{{\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}}\)

Đặt \(t = x - \frac{\pi }{4}\), khi \(x \to \frac{\pi }{4}\) thì \(t \to 0\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}L = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt 2  - 2\cos \left( {t + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin t}}\\\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt 2  - 2\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}\cos t - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\sin t} \right)}}{{\sin t}}\\\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt 2  - \sqrt 2 \cos t + \sqrt 2 \sin t}}{{\sin t}}\\\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt 2 \left( {1 - \cos t} \right)}}{{\sin t}} + \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt 2 \sin t}}{{\sin t}}\\\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{2\sqrt 2 {{\sin }^2}\frac{t}{2}}}{{2\sin \frac{t}{2}\cos \frac{t}{2}}} + \sqrt 2 \\\,\,\,\,\, = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\sqrt 2 \sin \frac{t}{2}}}{{\cos \frac{t}{2}}} + \sqrt 2  = \sqrt 2 \end{array}\)

Đáp án cần chọn là: C

Câu hỏi số 5:
Vận dụng

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^3} + 8}}{{\tan \left( {x + 2} \right)}}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:396018
Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\).

Giải chi tiết

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{{x^3} + 8}}{{\tan \left( {x + 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}}{{\frac{{\sin \left( {x + 2} \right)}}{{\cos \left( {x + 2} \right)}}}}\)

\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 2} \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)\cos \left( {x + 2} \right)}}{{\sin \left( {x + 2} \right)}} = 12\)

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn