Chứng minh rằng: a) Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) và \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} -

Câu hỏi số 396948:

Thông hiểu

Chứng minh rằng:

a) Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) và \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in \mathbb{R}\).

b) Hàm số sau liên tục tại mọi điểm \(x \in \mathbb{R}\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\,\,\,khi\,\,x \ne 2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 2\end{array} \right.\).

c) Hàm số sau gián đoạn tại điểm \(x = 1\): \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}}\,\,khi\,\,x \ne - 1\\\,\,\,\,\,2\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:396948

Phương pháp giải

- Các hàm sơ cấp (hàm đa thức, hàm vô tỉ, hàm phân thức, …) liên tục trên các khoảng xác định của chúng.

- Hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục tại \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = f\left( {{x_0}} \right)\).

Giải chi tiết

a) Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \mathbb{R}\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = x_0^2 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\forall {x_0} \in \mathbb{R}\).

Hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{{x^3} - 1}}{{{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in \mathbb{R}\) vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \dfrac{{x_0^3 - 1}}{{x_0^2 + 1}} = g\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\forall {x_0} \in \mathbb{R}\).

b) TXĐ: \(D = \mathbb{R}\).

Vì hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}}\) là hàm sơ cấp nên liên tục trên các khoảng xác định là \(\left( { - \infty ;2} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Ta xét tính liên tục của hàm số tại \(x = 2\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \dfrac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( {x - 1} \right) = 1\\f\left( 2 \right) = 1\end{array}\)

Do đó hàm số liên tục tại \(x = 2\).

Vậy hàm số đã cho liên tục trên \(\mathbb{R}\).

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{{{x^3} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {{x^2} + x + 1} \right) = 3\\f\left( 1 \right) = 2\end{array}\)

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) \ne f\left( 1 \right)\) nên hàm số đã cho gián đoạn tại \(x = 1\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.